235 (43)

14

10/235

10.3.4

MirroD\ ELEMENTU SKOŃCZO.NfcGO

Metoda elementu skończonego dla zagadnienia eliptycznego

W typ¹, punkcie przedstawimy MES dla zagadnienia brzegowego na płaszczyźnie. Będzie to zagadnienie dla ogólnego równania eliptycznego drugiego rzędu z warunkiem brzegowym Dirichlcta. Ma ono postać 2 2

Lu = - £ D£a,J(x)Dju)+ }" b_t<x)D_lU+e(x)u =/<*),    (I0.l03a)

t,r-\    i-i

xsn, a (.x) = 0, xeóQ    (10.l03b)

gdzie H jest obszarem ograniczonym na płaszczyźnie, zaś ćfł jest jego brzegiem. Zakładamy, że operator /. jest eliptyczny, tzn. istnieje taka dodatnia y._>} że dla dowolnych xe fi. ę = [<?„ ę₂]^r & ti², £ & 0, zachodzi nierówność 2 2

^a.Xx){iÓ5=7o2'{(²    (10.104)

i,4*l    i-1

Będziemy również zakładać, że /agadmcnic {10.103) ma jednoznaczne rozwiązanie klasyczne.

Naszym celem jest wyznaczenie przybliżonego rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia MFiS. Pierwszym krokiem jest zapisanie (10.103) w postaci równania wariacyjnego. Przyjmujemy tutaj za V przestrzeń Hi (Si) a wtedy zadanie wariacyjne odpowiadające (10.103) ma następującą postać: wyznaczyć taka funkcję u e H^lQ (fi), że

a (u, c) = I (v), v € Hi (Si)_;    (10.105)

gdzie

2 2

u Ul, V) = I ((ci;j(x) Di uDj o+ £ bfc) D, uv-f r(.v)Mi ldfi

ó. i!7-i    i-y

/(r)= \fv dn

a

Od zagadnienia (10.103) do zadania (10.105) przechodzimy standardowo. Równanie różniczkowe mnożymy przez v e ć ,j (fi) i całkujemy w obszarze fi. Następ-me przekształcamy stosując wzory Greena i wykorzystując warunek brzegowy. Rozszerzając otrzymane równanie na funkcje z przestrzeni /7_C‘ dostajemy (10.105). Ustalmy w łasności formy dwuliniowej a (u, v).

Lemat 10.9

Jeśli c (a)    0. a_u, b_h c e C (Si), funkcja />,(>',. *>) nie zależy od x„ / — 1, 2 oraz

Schodzi warunek (10.104), to lbrma dwuliniowa a (u, r) określona nad //,] x //_f; jest //.[-eliptyczna, tj.

|U||?

« <m, m)

u e Hi >