237 (8)

».1. El o menly komblnolorr*¹¹

9.1.2. Podstawowe pojęcia kombinatoryczne (IV) fyin^imnic wariacji /.-wyrazowych bez powtórzeń i z powtórzeniami, tworzonych ze zbioru na przykład 5-elcmcntowcgo, ilustruje poniższa tabela:

Dany zbiór	Z = {a.b.c.d.e} n = 5 (elementów)
Urorrone cięgi	O różnych wyrazach (bez powtórzeń).	Niekoniecznie o różnych wyrazach (dopuszczane są powtórzenia).
3-wyrazowe * = 3	Wariacja 3-wyrazowa bez powtórzeń V*= ‘ 31 na przykład ze zbioru {l. 2,3.4.5} można utworzyć l'/= ' 3! liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach.	Wariacja 3-wyrazowa z powtórzeniami y,= 5^1 2, na przykład ze zbioru {1,2,3,4,5} można utworzyć V}= 5 liczb trzycyfrowych nicskoniecznic 0 różnych cyfrach (cyfry mogą się powtarzać).
i--- i 5-wyrazowe *=5	Wariacja 5-wyrazowa bez powtórzeń Vs^3 4= Ps= 5!, na przykład z cyfr pięciocyfrowych o różnych cyfrach.	Wariacja 5-wyrazowa z powtórzeniami V *= 5^3, na przykład z cyfr {1,2,3,4.5} można utworzyć V. = 5^3 liczb pięciocyfrowych niekoniecznie 0 różnych cyfrach (cyfry mogą się powtarzać).
7-*yiazowe t=7	Whriaqa 7-wyrazowa bez powtórzeń niemożliwa, bo/ > zi(7 > 5\ na przykład z cyfr {1,2,3,4,5 } nie można utworzyć liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach (jest za mało cyfr).	Wariacja 7-wyrazowa z powtórzeniami v’= 5^5, na przykład z cyfr (l,2,3,4,5} można utworzyć V s = 5 liczb siedmiocyfrowych, w których cyfry mogą się powtarzać (7 >5).

:'i Związek permutacji, wariacji bez powtórzeń i z powtórzeniami z pojęciem funkcji jest następujący: Niech f:X (/-elementowy) — Y (n-elementowy) ftowczas:

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

1

liczba funkcji / (ze zbioru /-elementowego do zbioru n-elementowego) jest równa liczbie wariacji

• • iź* ‘ f* z powtórzeniami: V_m= n = ) ;

12) liczba funkqi różnowartościowych (ze zbioru /-elementowego do zbioru n-elementowego) jest równa

2

liczbie wariacji bez powtórzeń: V* = | £ j • /!;

3

Je® zbiór A składa się z n różnych elementów, a zbiór fi z Z różnych elementów, to można utworzyć n • Z iporzadkowanych par (a.b\ gdzie a € A\b € fi. Uporządkowana para (a, b) to 2-wyrazowy ciąg, którego pierwszy wyraz należy do zbioru A, a drugi do fi.

4

Na przykład liczba różnych uporządkowanych par (połączeń) elementów zbiorów A = {0.1} z elementami | d»mB= [a.b.c} wynosi 2 -3 = 6. Oto one: {(0,a),(0,fi),(0,c).(l.a),(l,fi),(l,c)}.

5

Uwaga: Zasadę mnożenia można uogólnić ze względu na liczbę zbiorów, w konsekwencji na ciągi, na przykład 3-wyrazowe w przypadku trzech zbiorów: A, B,C czy 4-wyrazowe w przypadku czterech zbiorów: A, fi, CiOild.

••liczba różnych podzbiorów zbioru Z n-elcmentowcgo (wraz ze zbiorem pustym oraz z całym zbiorem) i°irówna:2 = 2", na przykład Z = {a, fi}, oto możliwe podzbiory zbioru Z: {«}, {fi},0,{a,fi},« = 2, liczba podzbiorów: 2^Z = 2¹ - 4. Dla Z = { a. fi. c }, n = 3, to 2^? = 2^{6 7} = 8.

6

jeśli liczebność X i Y jest taka sama: X = K = n, to liczba funkcji różnowartościowych (ze zbioru n-ele- I rentowego do zbioru n-elementowego) jest równa liczbie permutacji: P_a = «!. iiTwotzcnic różnych uporządkowanych par elementów z elementów dwóch różnych zbiorów.

7

Zasada mnożenia: