236 (12)

Roche n*k p r o wdopodobi ońsI w o

9.1.2. Podstawowe pojęcia kombinatoryczne (III)

oo

i d) Wariacja z powtórzeniami A-wy razowa niekoniecznie różnych elementów zbioru Z //.-elementowego ( A * .V. // e V. )jest to każdy A-wyrazowy ciąg (niekoniecznie różnych) elementów zbioru Z.

(I) Tworzenie wariacji z powtórzeniami to tworzenie ciągów A-wyrazowych, z wykorzystaniem nazw elementów zbioru //-elementowego Z. Nazwy wykorzystywanych elementów mogą w ciągu się powtarzać. Uwaga: W w ariacji z pow tórzeniami nie musi być A < // (jak to jest wymagane w wariacji bez powtórzeń). I

(2) O wariacji z powtórzeniami mówimy wtedy, gdy chodzi o:

I.    rozmieszczenie A-clemcntów na // ponumerowanych miejscach lub

II.    losowanie A-elementów spośród // ze zwrotem elementów (przed każdym kolejnym losowaniem) z ważną kolejnością wyników losowań lub

III.    losowanie k razy po jednym elemencie ze zwracaniem spośród // elementów.

(3) Liczba F* wszystkich różnych A-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru //-elementowego wyraża się wzorem:

V*= rt\k

■ JV, n M SV.

na przykład Z = {a.b.c, d, ej, // = 5. Ciągów 3-wyrazowych ( k = 3) o niekoniecznie różnych wyrazach jest i l'_s = 5 = 125 (por. przykład z 9.1.2 (2)). Oto niektóre spośród tych 125 ciągów 3-wyrazowych: na przykład(a.a.b) lub (c, c, c), ale też (b.c,a) itd.

Ale z tego samego zbioru Z = {a, b, c, d, e } ( n = 5 ) można utworzyć też ciągi k = 7-wy razowe, tylko w tym i przypadku muszą nastąpić powtórzenia (£>//: 7 > 5). Ciągów takich jest V_s= 5⁷, na przykład ( a. b, c, d, e.a,a) lub ( a, b, c, d, e,b,c \ ale też ( a, a, a, a, a, a. a ).

Uwaga 1: Porównując wariację bez powtórzeń z wariacją z powtórzeniami, mamy:

Losowanie A-elementów spośród //-elementów	z ważną kolejnością wyników losowań (n £ N6 N)
bez zwrotu		ze zwrotem
musi być A < n		może być A, n — dowolne
wariacja bez powtórzeń		wariacja z powtórzeniami
		*:-• ■» _j

Uwaga 3: Losowanie A-elementów spośród //-elementów

Uwaga 2: Mając zbiór Z //-elementowy i chcąc tworzyć A-wyrazowe ciągi z elementów zbioru Z, mamy dwie sytuacje:

gdy A < /t

gdy k > n

7x

bez powtórzeń z powtórzeniami

wówczas może to być zarówno wariacja:

wówczas musi to być (liczba wyrazów ciągu przekracza liczbę /ł-clemcntów, którymi dysponujemy)

bez ważnej kolejności A:-elementów (k < n

z ważną kolejnością Ar-elementów (ciąg A-wyrazowy)

e-(i) « ^v

tylko wariacju z powtórzeniami

V =

(por. przykłady w 9.t.2c., d.)

(podzbiór A-elemcntowy)    _{to W}ariacja

(2)