235 (9)

9.1.2. Podstawowe pojęcia kombinatorycsne (II)

f)ffitriagn bez powtórzeń /(-wyrazowa (*e/V) zbioru 7. n-elementowcgo (n e /V₍) o różnych elementach jest to każdy (-wyrazowy (( < n) ciąg utworzony z elementów zbioru Z.

(I) Tworzenie (-wyrazowych wariacji zbioru elementowego Z to tworzenie (-wyrazowych ciągiw (istotna kolejność — por. 9.1.2b.) wytworzonych ze zbioru Z.

0 wariacji bez powtórzeń mówimy wtedy, gdy chodzi o wybór (-elementów spośród /i-clemen-tów ( < n, podobnie jak w kombinacji, ale z ważną kolejnością elementów w (-elementowym wybranym podzbiorze (w kombinacji kolejność elementów w (-elementowym podzbiorze była nieistotna), na przykład gdy chodzi o wylosowanie (-elementów spośród n bez zwrotu z ważną kolejnością wyników losowań.

(2) Liczba V_m wszystkich różnych (-wyrazowych wariacji bez powtórzeń utworzonych ze zbioru n-elemcntowego wyraża się wzorem:

(! =

n - k)\

; ( < n,k e N,n e N.

Ktzba frelc- liczba ł-wyra-®coio»Ycb zonych per-(ttbbiorów mutacji ł-efc-uUwzonych mentowego ze zbioru utworzonego adonentowe- podzbioru,

(aaj*c' czyU P,

na przykład Z= {a,b,c,d,ej, n = 5. Ciągów 3-ttyrazowych o różnych wyrazach ( = 3 (< 5)

jest V*= LI • 3! = 10 • 6 = 60 (por. przykład

z9.1.2b(2)). Oto te ciągi 3-wyrazowe: z podzbioru, {a,b,c \ mamy ciągi:

(t,b.c),(a,c,b), (b,a,c), (6, c,a), (c,a,b),(c,b,a) z podzbioru, {o, b, e} mamy ciągi:

[t,b,e),(a, e,b),(b,a,e),(b,e,a),(e.a,b),(e,b,a) li. (por. przykład z 9.1.2b(2)), aż do: z podzbioru, {a, b.d} mamy ciągi:

|a.M),(a.</.h), (b.d, a). (b.a,d). (d, a. b),(d, b.a).

W wypadku kombinacji układ {a.b.c} utożsamia się z układem {ez, cj-, gdyż jest to ten sam zbiór, ale w wypadku wariacji bez powtórzeń rozróżnia aę te układy, bo inna kolejność to inny ciąg.

Uwaga 1: Jeśli ze zbioru /i-elementowego two-tzymy wariację ( = /(-wyrazową bez powtórzeń (czyli ( = n w wariacji bez powtórzeń), to jest to permutacja /(-wyrazowa zbioru n-elemcntowego (podzbiorem jest cały zbiór).

V,ihk = n:V" = ^ⁿJ_ny =    = f ⁼ "^{! =} P-

Uwaga 2: Porównując kombinację (-elementową ^zwariacją bez powtórzeń (-wyrazową, można zaważyć:

9.1. Elementy ko»bi«»ro/rki

(-elementowa kombi-nacju zbioru /i-clc-mentowego	(-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru n-clcmcntowcgo
( < n	( < n
wybór ( różnych elementów spośród	wybór ( różnych elementów spośród
/i-clcmentów: |" j	/(-elementów: | ^ J
utworzenie zbioru (-elementowego (podzbioru zbioru /(-elementowego) na	utworzenie zbioru (-elementowego (podzbioru zbioru /(-elementowego) na
C* = f^ j sposobów	C*= ( J ) sposobów
(wybór (-elementów spośród n > ( elementów)	i zmiana kolejności, czyli permutacja elementów w obrębie (-elementowego podzbioru: Pk = k\, tj. tworzenie (-wyrazowych ciągów z podzbioru (-elementowego. Zatem utworzenie (-wyrazowych (( < w)ciągów ze zbioru /(-elementowego odbywa się na
	K*= l ^ j • (! sposobów.
	(wybór /t-e le- (permutowanie mentów spo- ^-wybranych śród n ^ k elementów) elementów)
Wniosek: Kolejność elementów w (-elementarnej kombinacji zbioru /(-elementowego nie jest ważna (kombinacja to podzbiór (zbiór)).	Wniosek: Kolejność elementów w (-wyrazowej wariacji bez powtórzeń zbioru /(-elementowego jest ważna (waria-ęja to ciąg).

Uwaga 3: Losując kolejno bez zwrotu (-elementów (( < n) spośród /i-elementów z ważną kolejnością, mamy również wariację (-wyrazową bez powtórzeń zbioru zi-elementowego:

i aiiB

wybór    wybór    wybór

I. elementu    Z elementu 3. elementu

< //-elementów z pozostałych z pozostałych

(«->)- ("-2> •elementów -elementów

wybór i-ego elementu 2 pozostałych

»-(*-')•

•elementów

=n(n- 1)(« - 2) ... •[/!-(*- 1)] =

- n\ _ o*

(/»-*)! "

Zatem ciąg (-wyrazowy można utworzyć ze zbioru /j-elemcntowego (( < n) zarówno losując kolejno (-elementów lub wybierając od razu (-elementów spośród /i i ustawiając je w różnej kolejności.

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA