243 (51)

MHTODA -ELEMENTU SKOStCZOKEOO .0.3/243

szego stopnia (i nic wyższego) względem x_x i x₂. Z twierdzeń 10.20 i ostatniego wynika oszacowanie błędu metody

|jm—u*|li < Mh ;|u|J₂

gdzie u jest rozwiązaniem dokładnym (10.105), u_h zaś - zadania (10.106) rozważanego v.^r przestrzeni    Na tym kończymy omawianie MES dla zagad

nienia (10.103).

Podamy jeszcze kilka uwag o rozszerzeniach powyższych konstrukcji MES.

W przypadku zadania (10.103) z niejednorodnym warunkiem Dirichleta postępuje się podobnie, jak w zadaniu jednowymiarowym omówionym w p. 10.3.3.

Konstrukcja MES dla równania (i0.103a) z warunkami brzegowymi II, II! rodzaju lub mieszanymi jest w zasadzie taka sama, jak przedstawiona wyżej. Różnica polega tylko na nieco innym określeniu przestrzeni elementu skończonego V*^k'^ł czy F_fc^{(t k)}. Funkcje z tych przestrzeni zerują się jedynie na tej części brzegu, na którym dany jest warunek Dirichleta.

W rozpatrywanych wariantach MES zakładaliśmy, że Cl jest wielokątem lub sumą prostokątów. Jeśli Cl jest dowolnym obszarem ograniczonym, to stosujemy jedno z dwóch podejść, które omówimy najpierw dla zagadnienia z warunkami E>irich!cta.

Pierwsze podejście polega na aproksymacji Cl zawartym w nim obszarem Q. Kształt obszaru Cl zależy od rodzaju używanych elementów. Przenosimy następnie warunki Dirichleta z na br2eg dCl obszaru Cl. Takie postępowanie na ogół prowadzi do obniżenia rzędu szybkości zbieżności metody. Drugie podejście polega na stosowaniu w pobliżu brzegu elementów o brzegach krzywoliniowych. W tym przypadku rząd metody nie ulega już. obniżeniu, jeśli brzeg obszaru Cl jest dostatecznie regularny. Występują jednak pewne kłopoty obliczeniowe związana z liczeniem całek na takich elementach.

W przypadku warunków pobocznych Q aproksymujemy większym obszarem £1 (Cl c: D). Obszar ten powienien dać się podzielić na elementy regularne (trójkąty lub prostokąty). Następnie w Cl konstruujemy przestrzeń elementu skończonego    Zawężając funkcje tej przestrzeni do obszaru fi otrzymujemy przestrzeń    w której rozważamy zadanie przybliżone. Postępowanie takie

zachowuje rząd zbieżności metody, ale może prowadzić do bardzo źle uwarunkowanych układów odpowiadających zadaniu przybliżonemu.

W tym punkcie ograniczyliśmy się do rozpatrywania zagadnień dwuwymiarowych. Konstrukcja MOS dla zagadnień określonych w obszarach przestrzennych ¹ miększego wymiaru, jest podobna do przedstawionej. Obszary przestrzenne Oclimy na elementy simplicjalne lub prostopadłościerwe. Przy podziale na n-‘^ytniarowe prostopadłościenne elementy najłatwiej konstruować przestrzeń jako iloczyn tensorowy przestrzeni jednowymiarowych.

Czytelnikom interesującym się wyżej poruszonymi problemami polecamy fonografie f 141. T641 flORT