253 (7)

............ jurnie znajduje się /», n> 2 kul, z których połowa to kule białe. W sposób losowy wyjmujemy z urny jedną kulę. Jeżeli jest to kulu biała, to w miejsce wylosowanej kuli do- < yjjjniy do urny dwie kule białe, w przeciwnym razie dokładamy jedną kulę białą. Ponownie losujemy z urny kulę. Dla gg8 oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w drugim losowaniu otrzymamy kulę białą.
Komentarz	Rozwiązanie
gadanie zilustrujemy za pomocą drzewa.	n = 8 - liczba kul w urnie % n = 4 - liczba kul białych w urnie Wynik I    losowania ^ ^ II    losowania B J B J B-kula biała J - kula w innym kolorze
Wprowadzimy oznaczenia zdarzeń i obliczymy ich prawdopodobieństwa. Jtżeli w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę biali), to drugą kulę będziemy losować z urny, w któ-rq jest 4 - 1+2 = 5 kul białych i 4 kule w innym kolorze.	A - zdarzenie, że w drugim losowaniu otrzymamy kulę białą B, - zdarzenie, że w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę białą, czyli dołożymy do urny dwie kule białe B2 - zdarzenie, że w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę w innym kolorze, czyli dołożymy do urny jedną kulę białą
Jeżeli w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę winnym kolorze, to drugą kulę będziemy losować tumy. w której jest 4 + 1 = 5 kul białych i 3 kule winnym kolorze.	Bjj ^p{A/^B>) = 1 ^Pi^A/^B2)=l
Ponieważ B,nB2=0 i B,UB2=J2 i /^,(B,)>0 iP(flj)>0, zatem spełnione są założenia twier-feniao prawdopodobieństwie całkowitym, które zastosujemy do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia 4.	P(A) | B(fl,) | P(A/B,) i B(Bj) ■ P{A/B2) ^P(^A) = T&
Formułujemy odpowiedź.	Odp
Jednostką urojoną nazywamy f-1 (z^2=-l). Ope-M nią już w XVI wieku matematyk boloński j^cll Jednakże sam termin jednostka urojo-^6'jej symbol i weszły w użycie dopiero w wie-j XIX, po ogłoszeniu przez Carla Gaussa | s 18 ^lra*^ctatu z zakresu teorii liczb. zespoloną nazywamy liczbę postaci a + bi, '^wcjaibsą liczbami rzeczywistymi, zaś i = J-\\ "^asię częścią rzeczywistą liczby zespolonej;	bi - częścią urojoną. Na liczby tej postaci natrafiono przy poszukiwaniu wzorów na pierwiastki równania trzeciego stopnia (XVI w.), ale rzeczywistą istotę liczby zespolonej wyjaśniono dopiero na przełomie XVIII i XIX wieku, kiedy znaleziono sposób jej geometrycznej interpretacji. Sam termin „liczba zespolona” został wprowadzony przez Carla Gaussa w 1831 roku.

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA