254 (10)

PRZYKŁADOWE ZAOANIC 2.

Do urny. w której znajduje się /». /i > 2 kul. a potowa z nich to kule białe, dokładamy 5 kul biatych, a następ, nic losujemy dwa razy be z zwracania po jednej kuli. Wiedząc, że prawdopodobieństwo otrzymania w drugim losowaniu kuli białej wynosi ■=% oblicz, ile kul białych znajdowało się na początku w urnie.

Komentarz

Rozwiązanie

RAWDOPODOB

Ponownie zastosujemy drzewo do zilustrowania zadania.

rt — liczba kul w urnie pierwotnie, n €= N n > 2, n — liczba parzysta

4- « - liczba kul białych w urnie

■4 n — liczba kul w innym kolorze w urnie « + 5— liczba kul w urnie po dołożeniu 5 kul biatych 2" n 5 — liczba kul białych po dołożeniu 5 kul białych

y /i - liczba kul w innym kolorze po dołożeniu 5 kul białych — nie ulega zmianie

O

to

2 n

2 n

Wynik I losowania	B. n 8 ^	\ n	/i + io 4	^J ' \ » - 2
	2/i	\2/i + 8	2/t -f	\2n ł 8
Wynik II losowania	B	J	B	J

B — kula biała J — kula w innym kolorze

Ł_L_i

Wprowadzimy oznaczenia zdarzeń oraz wyrazimy ich prawdopodobieństwo przez n.

Jeżeli w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę białą, to drugą kulę będziemy losować z urny,

w której jest y « + 5 — 1 = y w + 4 kul białych i*4 « kul w innym kolorze.

Jeżeli w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę w innym kolorze, to drugą kulę będziemy losować

z urny, w której jest y « + 5 kul biatych i y « — 1 kul w innym kolorze.

A — zdarzenie, że w drugim losowaniu otrzymamy kulę białą

B_x — zdarzenie, że z urny usuniemy kulę białą B₂ — zdarzenie, że z urny usuniemy kulę w innym kolorze

P(B_t) =

yr n + 5

n

lO

2 n n

2 n

lO

lO

n

8

1

-Ar n -1- 5

2 n + 8 n + lO

2 n + 8

Podobnie jak w zadaniu pierwszym, spełnione są założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Zatem wyznaczymy P( A ).

P(A) = P(B.)    P(A/B,) | P(B_X) P(A/B₂)

. X _ n ± 1Q n + 8    ,    n . /i ± łg-

j "2/1+10    2 n -t- 8    2/i -ł- lO 2/f + S

, . X 2n~ + 28 n + 80--/*~+ 14/> ± 4Q_

/>(>%)* ----- ^

4 n

36 zi

80

2 n ~ -ł- 18/1 + 40

Wiedząc, że prawdopodobieństwo otrzymania w drugim losowaniu kuli białej wynosi y, zapiszemy równanie, w którym niewiadomą jest pierwotna liczba kul w umie.

P(A) = -f

/i² + 1 4 n + 40    _ 2.^^, naturalnych parzystych n

2/ł² + 18/i + 40    ³    .

18 /< + 40 j

3 (//² + I4/i + 40) = 2(2/1*

+ 40 = 0, A = 196. /A = IO. /», =

— /i /i. =

+ 6/t -6 — 14 _5

— 6 + 14 -175“

14

4^^

Obliczymy, ile kul białych było na początku w umie.

Formułujemy odpowiedź.

Odp. Liczba kul białych w urnie wyno-sila 5.

^ 2