26 (715)

58

Szeregi zespolone

2. Punkt z o jest t-krotnym punktem zerowym funkcji holomorficznej /(z) wtedy i tylko wtedy, gdy w otoczeniu tego punktu mamy

/(z) = (z - zo)*>(-),

gdzie ip(z) jest funkcją holomorficzną taką, że ys(zo) yf 0.

O Ćwiczenie 4.4.4

Udowodnić powyższy fakt.

O Ćwiczenie 4.4.5

Znaleźć wszystkie punkty zerowe podanych funkcji i zbadać ich krotność: aj /(z) = sin z;    b) /(z) = 1 - cos2z; c) /(z) = (z² + l)² z³;

d) /(*) = e'" ~ 1; e) /(z) = sin t-^.

O Ćwiczenie 4.4.6

Pokazać, że jeśli zo jest k-krotnym punktem zerowym funkcji holomorficznej /(z) i /-krotnym punktem zerowym funkcji holomorficznej g(z), to jest (k + /)-krotnym punktem zerowym funkcji ń(z) = /(z) ■ ff(z). Korzystając z tego faktu zbadać krotność punktów zerowych podanych funkcji:

a) h(z) = (e^4,ł — l) cos z; b) h(z) = (z^ł — l) sin jrz.

•    Fakt 4.4.7 (o odosobnieniu punktów zerowych)

Jeśli zo jest punktem zerowym fc-krotnym funkcji holomorficznej /(z), to w otoczeniu tego punktu funkcja ta nie ma innych punktów zerowych.

Uwaga. Taki punkt zerowy nazywamy odosobnionym.

O Ćwiczenie 4.4.8

Uzasadnić powyższy fakt.

Wskazówka. Wykorzystać Fakt 4.4.3. 2.

•    Fakt 4.4.9 (o punktach zerowych funkcji holomorficznej)

Jeśli funkcja jest holomorficzna w obszarze, to albo jest tożsamościowo równa zeru, albo każdy jej punkt zerowy jest odosobniony.

4.5    Odpowiedzi i wskazówki

4.1.3 a), c) rozbieżne; b) zbieżny.

4.1.5    Wskazówka. Zbadać moduły |z_n| •

4.1.12 a), b), c), e), g) zbieżne; d), f) h* rozbieżne.

4.2.5    a) R = 1, |z| < 1; b) R = oo, cała płaszczyzna; c) R = 1, |z| < 1; d) R = y/2, |z + 2i| < \/2; e) R = 2, |x| < 2.

4.2.6    n) zbieżny na całym okręgu |z| = 1; c) rozbieżny we wszystkich punktach okręgu

Odpowiedzi i wskazówki

59

|_z| = l; (1) zbieżny na całym okręgu |z + 2»| = v/2 oprócz punktu I - i; e) rozbieżny we wszystkich punktach okręgu |z| = 2.

^fc6F>.«- «») rh⁺ jrnprf* - o-.«- v*

n=0

n = oo.

(2»)

(TT    xn\

T + -y)

3_2 / n n ₌

^/J = ₀°^id) (^z~t) ■^R = °°^{; c)}

(-1)"    ,»n

(2n + 1)!

4.4.5 a) zjfc = tir, gdzie t g Z, 1-krotne; b) z_k =_tir, gdzie k £ Z, 2-krotne; c) z₀ = 0, 3-krotne, zj = i, zj.— —i, 2-krotne; (i) z_k = rfc\/[tj"ir(l 4- i), z_k — i\/[tyir(I — i), gdzie tg Z\ {0), 1-krotne; z₀ = 0, 2-krotnc; e) z_t = i (l -    , gdzie k £ Z\ {0}, 1-krotne.

4.4.6    a) Zk = Jtar, gdzie t £ Z, 1-krotne, z'_k — — + tir, gdzie k £ Z, 2-krotne; b) Zk = t, gdzie k e Z\ {-1,1}, 1-krotne, z, = 1, z_i = -1, 3-krotne.