00098520

Lemat (o punktach zerowych funkcji holomorficznej). Jeżeli funkcja /(*) holomorficzna w obszarze D, to jest w tym obszarze tożsamościowo równa albo każdy jej punkt zerowy z₀ 6 D jest odosobniony (tzn. w pewnym jego sąsK twie nie ma już innych punktów zerowych funkcji f{z)),

Z tego tematu wynika ważny wniosek.

Wniosek. Funkcja holomorficzna w obszarze D i » jąca w nim punkt zerowy, który nie jest odosobnić jest w tym obszarze tożsamościowo równa zeru.

W szczególności funkcja holomorficzna w obszarze D i przyjmująca wart zero na pewnym luku zwykłym lub w pewnym obszarze D₀ <= D, jest tożsamością równa zeru w całym obszarze D. Właściwości tc można wykorzyslać do identy/ike funkcji holomorficznych.

Tw. (o identyfikacji funkcji holomorficznych). Jeieli funkcje J\z) i g(*)^: holomorficzne w obszarze D i przyjmują jednakowe wartości w nieskończonym C {z,} punktów z, e D, n = 1,2,.... zbieinym do punktu z₀ e D, to funkcje te równe w obszarze D.

DOWÓD. Rozważmy funkcję pomocniczą

Funkcja la jest holomorficzna w obszarze D oraz równa zeru w każdym punkcie rozpa ciągu {»„}. Z uwagi na ciągłość funkcji tji (z) w punkcie r₀, mamy ponadto <p (2₀) — lim i£(r) — Urn <^(z„) = O

ihwarze O. ci>li /f») »

Punkt *„ jest więc punktem terowym funkcji <j>{z), przy czym nie jest odo w każdym sąsiedztwie punktu z₀ znajduje się punkt ciągu {i„}, a więc inny tfUz). Wynika stąd, że funkcja ^(z) jest tożsamościowo równa

Z twierdzenia powyższego wynika, że dwie funkcje holomorficzne w obszarze i przyjmujące jednakowe wartości na pewnym luku l c D lub w pewnym c Do c D są równe w całym obszarze D.

Zauważmy leż, że funkcja/Hz) holomorficzna w obsza i mająca stała wartość fc na pewnym luku / u D lub w pe*H nym obszarze D₀ a D jest stała w całym obszarze O. F ten wynika stąd, że funkcje/(z) i g(z) s k są holomorficzne w obszarze D i p mują jednakowe wartości na luku I <=■ D (lub odpowiednio w obszarze D₀

Zasada maksimom modułu. Ze wzoęu całkowego Cauchy*ego oraz z omówfyĄ nych ostatnio właściwości funkcji holomorficznych wynika następujące wain# | twierdzenie.    ’ |\i

Tw. (zasada maksimum modułu). Moduł funkcji holomorficzhej i od stałej w obszarze D nie osiąga maksimum w iadnvm punkcie tego obszaru.

DOWÓD (nie wprosi). Przypuśćmy, że funkcja /(z) jest holomorficzna i różna od stale w obszarze D oraz że jej moduł l/(z)l osiąga maksimum w punkcie z₀ e O. Istnieje zatem takie otoczenie Q: |z—Zol < 0 punktu :₀ (rys. 10.46) należące do obszaru D, że dla każdego ze Q jest spełniona nierówność l/MI < //(z₀)l-

Niech r e (O, e). Mamy wiec (por. zad. 5, p. 12 tego rozdz.)

/(*>) =* ~ j/(zo+reż>)dr    (UL156)

Podkreślamy, że r jest dowolną liczbą dodatnią mniejszą ód p. Jeżeli w pewnym punkcie okręgu K(z₀;') jest spełniona nierówność mocna |/(z)| < l/(ze)|, to z uwagi na ciągłość funkcji/(z) nierówność taka jest spełniona także na pewnym luku tego okręgu. Przypuśćmy, że łuk ten odpowiada zmienności parametru ( w przedziale (ij, *j), (0 < r, < r_a'< 2tc). Mamy wówczas

| J /(z₀+re")tf] < Jj/(z₀+rtl‘)\dl< ] j/(zo)|rfr

ti    «i    fi

więc z uwagi na wzór (IH.156) dostajemy

|/M <    \ lf(zo+rcⁱ')\dl+-~ $ |/(z₀+reJO|</H--i- j l/(z₀+reJ<)]dr

l/M < ^ i/^l >i+ ~ l/(*»)l (h-<d+    |/(n>)| Gte-żJ

; ostatecznie dostajemy nierówność fałszywą

l/M < |/M

Jeżeli W żadnym punkcie żadnego okręgu *(*>; r), O < r < p, nie jest spełniona nierówność mocoal/WI < l/de)l, to ponieważ dla każdego z e G jest spełniona nierówność słal»|/(*)l< l/(z„)i'. więc dla każdego z eG mamy |/{z)j = |/(z₀)l .Moduł |/(z)|, a więc także funkcja /(z) są w tym przypadku stale w otoczeniu Q. Wynika stąd, że ftmkcja/(z) i funkcja «(z)-/(z₀) mąją jednakowe war-tości w otoczeniu G ^G śł, a ponieważ obie są holomorficzne w obszarze D, więc /(z) jest stola _w tym obszarze. Zaprzeczanie zasady maksimum modułu doprowadza nas w«c do nierówności fałszywej |/(z₀)l< l/(*>)l albo do wniosku, że/(z) jest stała w obsrane D. p więc do wniosku sprzecznego z założeniom tej zasady, cnd.