398 2

398

9. Metody Fouriera

Zauważmy, że w punktach niecjągłości funkcji / sumą tego szeregu jest zero - _ZR0(i . z tym, że w punkcie nieciągłości suma szeregu powinna być równa średniej arytmetyc granic lewostronnej i prawostronnej. Do przyspieszenia zbieżności takiego szeregu bezpośrednim sąsiedztwem punktów os obi i wyciu można użyć przekształcenia: EuW= (zob. zadanie 3 z § 7.6).    ^tf '

TaT

Rys. 9.2.1

Twierdzenie 4.2.6 i wynikający z niego wzór Parsciała

(9-2.7)    2*.£ WHI/IIMI/WI^' są bardzo ważne w wielu zastosowaniach analizy Fouriera.

Twierdzenie 9.2.4. Analiza Fouriera w przypadku dyskretnym (,interpolacja trygo, nometryczna). Każdą funkcję określoną na siatce [x₀, X,, ..x_M}, gdzie x_a ^ 2xaj{M +1): można interpolować wielomianem trygonometrycznym, mającym dwie równoważne j?ojⁱr<zciV-

* + •

(9.2.8)    f(x)= Y CjJ'*,

j^-k

k

f{x)=$ao+ L (njcosjx + bjsinjx)+i0a_k+j cos(* + l)x, i=*i

gdzie

H = 0, k =    (M parzyste)

0= I. k-\(M —1} (Af nieparzyste).

M

-Fi)^-1 £ /(*.)cosy>,.

(9.2.91

9^0

bj^2{M«f 1)”¹ £ /(xjsinjx,,

1 = 0

•W

Cj«(Af +1)'¹ X /u„)exp(-i/jr_a).

a = 0

i^wy w wyrażeniach (9.2.8)    na j-tym składniku, gdzie j<k+&, ^to

mamy wielomian trygonometryczny najlepiej przybliżający na danym zbiorze funkcję w sensie aproksymacji średnio kwadrat owej, ze wszystkich wielomianów trygonornetryd?!??"' z tą samą liczbą składników.

Dowód. Wyrażenie dia c_i udowodniono formalnie wcześniej (zob. (9.2.4)) » wsp⁰³*^-niano. że twierdzenie 4.2.6 usprawiedliwia ten dowód.