394 2

394

9. Metody Fouriera

mując, że fl_A = r_ksinp,., b_k=r_kcosr*. wobec wzoru dla sinusa sumy możemy napisać, że

(9.1.2)

/(<)= E (a_icosicu/+6_łsinAa)/),

gdzie a_k i b_k są stałymi rzeczywistymi. Inną, często wygodniejszą postać można znałeś za pomocą wzorów Eulera

cos x——

2

sin .v=

li

(l — \ — I).

Jeśli

(9.1.3) c₀ = ^tfo* ^c*=ł(^flfc—c-k = łi<ik+ib_k) (A = l,2....),

to otrzymuje się, że (9.1.4)

/«) = E ^^łk“'

W pozostałej części tego rozdziału rozwinięcia typu (9.U) lub (9.1.4) będziemy nazywali szeregami Fouriera, a ich sumy częściowe - wielomianami trygonometrycznymi. Szeregi Fouriera są cennym narzędziem badania zjawisk zależnych okresowo od czasu (drgań, dźwięków, światła, prądu zmiennego itd.) lub od położenia (fal, struktury krystalicznej itd.). Aktualną i bardzo ważną dziedziną zastosowań są szeregi czasowe, używane w' teorii komunikacji, teorii sterowania i badaniu turbulencji. Niekiedy powyższe metody określa się mianem analizy spektralnej. W pewnych zastosowaniach używa się modyfikacji czystych metod Fouriera jako środka do badania zjawisk nieokresowych; zob. np 2? 9.4 (przedłużanie okresowe funkcji) i § 9.5 (całki Fouriera).

9.2. Podstawowe wzory i twierdzenia analizy Fouriera 9.2.1. Funkcje jednej zmiennej

Będziemy badać funkcje o okresie 2r.. Jeśli funkcja zmiennej t ma okres p, to podsta-

Przypadek ciągły:

(9.2.1)

(/•0)= ff(x)g(x)dx.

—•

Przypadek dyskretny:

(9.2.2)

(/. 0)=

2ita