396 2

396

9 Metody Fouriera

Jeśli w i ad om o, że / ma rozwinięcie postaci /=

y = a

gdzie w przypadku ciągłym j=-oc,    a w przypadku dyskretnym b-a= y _l0

otrzymuje się (formalnie), żc

b

(/• ?*>“ £*/(?;*    ft> (jeśli »<*■<&).

J=*

gdyż (^y,ę>k)=0 dla yV&. Stąd (po zmianie A na./) mamy równości

(9.2.3)

_r (/ » f/) ,

Vj)

— |/(x)e ^lJxdx (przypadek ciągły).

²*J

(9.2.4)

1 "

77—i Z/(*«)^c-M>(-0X) (przypadek dyskretny) M +1 «-o

Są to tzw. współczynniki Fouriera (zob. ogólniejszy przypadek w twierdzeniu 4.2.5). To czysto formalne podejście jest uzasadnione - w przypadku dyskretnym - wobec twierdzenia 4.2.6. W przypadku ciągłym są potrzebne subtelniejsze metody, w co nie będziemy się tu wgłębiać.

Z uogólnienia twierdzenia 4.2.5 wynika też, że norma

II/- £ */Fj|l (N<co)

i- -*

jest najmniejsza wtedy, gdy wybieramy k_j=Cj ( —

Rozważmy teraz przypadek ciągły. Zgodnie z (9.1.3) przyjmijmy, że

Wtedy

(9.2.5)

(9.2.6)

aj=cj+c-j, bj=*i(cj-c„j).

^co~^^ao>

n

Oj = K~' jj {x)CO$jxdx,

— *

X

6j = k^_1 J/(x)sin/#M*»

/(*)- I Cje^iJ3

*/(.<)-ł^o~ Z(c/cosjx +1sin/arł-f c../cos./*-/sin/*))^: =/(x)-4n₀- V (a^cosjx+bjsin/x).

(Zauważmy, żc czynniki przed całką są inne w wyrażeniach dla c_Jf niż w wyrażeń** dla aj i bj.)