29Rownianie ruchu harmonicznego prostego

Równanie ruchu harmonicznego prostego

— = F, lub dla ruchu jednowymiarowego

dt    dr m

d~ X    i    2

m

-r- + (O X = (O x_n

dr    ⁰

Jest to równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu, niejednorodne. Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest równe sumie ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego:

x(t) = x₀

Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego: x(t) = Ą cos(co/) + zl₂sin(<y/)

Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego: jc(0 = x₀+ A_t cos (tu/) + ^4₂sin((UO Warunki początkowe (dla 1 = 0):

x(t = 0) = x_p -A x_p=x₀+Ą -A A, = x_p - x₀

v(t = 0) = v

-A V =A₂C0

-A A.

v

p

(O

Siła sprężystości (siła harmoniczna)

F = -k(x-x₀)

k - współczynnik sprężystości x₀ - położenie równowagi masy m.

( związek z prawem Hooke’a ⁼    ^

Siła kwazisprężysta - dowolna siła typu F = -k(x-x₀). Jest

charakterystyczna dla małych wychyleń układu z położenia równowagi.

Ruch harmoniczny prosty

a) rozciągnięta

ruch, w którym poza siłą harmoniczną nie występują żadne inne siły (np. tarcia, lub inne siły zewnętrzne zależne od położenia łub prędkości danego obiektu.

F = -k(x_t ~x₀)

b) zwolniona

%smM