318 (10)

Wyznaczając pochodną

M,JY) ₌ ai(VL_2KrA₍Bv_+A)«

av av av'

= ----- V ^r PV - 2 K ^r ----- (B V + A) =

av    av

= 2V⁷'P-2k⁷B

a następnie korzystając z warunku koniecznego i)

aę_£(V)

Ć)V

= 0 o 2 V⁷ P ~ 2k⁷ B = 0

V-V,K-K

uzyskujemy równanie

PV - B⁷ k = 0    (5.2.10)

skąd

PV - B⁷ k «

V P ¹B⁷*k    (5.2.11)

Drugi warunek konieczny ii) można zastąpić następującym warunkiem (dla k si 0):

k⁷ (BV + A) = 0 <=*

BV + A-O

Zatem podstawiając    ^

f BV + A = 0

/

i

\ V = P"'b ^TkJ

otrzymujemy    ..................'

BP”^lB^rk + A = 0    (5.2.12)

Jeśli k rozwiązuje układ równań BP" ^!B⁷ k + A == 0, to V = P“^lB⁷'k nie tylko minimalizuje pierwotną funkcję celu ćj(V) = V^rPV, lecz także spełnia układ równań warunkowych BV-f-A=0 (ograniczenia w problemie optymalizacyjnym (5.2.7)).

Ponieważ (Be    (Bł^>_lB⁷ g91^) oraz k.AgSI-^7,5, więc układ rów

nań (5.2.12) jest układem równań normalnych (tyle jest wyznaczanych ko-relat JC| ,k₂,.. .,xy, ile występuje w tym układzie równań). Jeśli macierz BP~^!B^r nie jest macierzą osobliwą, czyli jeśli /?(BP~^!B⁷ ) ~ /. a stąd det(BP~¹B⁷') 0, to do rozwiązania układu równań normalnych można zastosować którąś z metod przedstawionych w rozdz. 1.3:

BP"¹!?⁷ k + A “ O

/ ^S'\

A'"    A

metoda nieoznaczona    metoda oznaczona

k ~ -(BP~¹B⁷)~¹A ^    [BP"¹B⁷ i A} = R⁷ | R i A _R )

RktA_r~0

skąd k

Korzystając z rozwiązania nieoznaczonego

K=-(BP“ⁱB⁷)"ⁱA    (5.2.13)

estymator wektora poprawek można przedstawić w postaci

V = -P"¹ B⁷ (BP"¹B⁷ )"¹A    (5.2.14)

Rozwiązanie (5.2.14) ma także odniesienie (podobnie jak rozwiązanie dx -~(A RA) A PL=s-A^pjL w metodzie parametrycznej) do omawianej w rozdz. 1.4 teorii uogólnionych odwrotności macierzy. W tym kontekście rozwiązanie

V = ^_Bhi(3*)A

o uogólnionej odwrotności

B;_i(P)=P“^,B^r(BP"ⁱB⁷)-¹

jest takim rozwiązaniem niesprzecznego układu równań BV + A = 0, że

||VJ|£= V^rPV = min

(jeśli /?(BP“ⁱB⁷)< /, to B"_(P) = P" ^!B⁷ (BP^- *B⁷ )")

Kontrola wyników wyrównania

Kontrola po wyrównaniu metodą warunkową składa się także z dwu etapów. Etap T polega na sprawdzeniu, czy jest spełniona równość

s ~ .v

przy czym natomiast

,v ~ V⁷PV

(5.2.15)

-7*

s'~ V^rPV = K^rBP“^lPP"^B^ł k = k' BP~'B' k = ~k‘ A

"77"    -A

319