402 (5)

9. WYRÓWNANIE SWOBODNE

9.1. Idea wyrównania swobodnego

Załóżmy, że klasycznemu wyrównaniu metoda parametryczna podlega swobodna sieć geodezyjna: trójkąt o zmierzonych trzech kątach i trzech bokach (rys. 9. la). W celu eliminacji defektu dowiązania d, -3, przyjmujemy jako stałe współrzędne (X, Y) punktu Z_} oraz współrzędną X punktu Z,. Na podstawie tych współrzędnych oraz wyników pomiaru, są obliczane współrzędne przybliżone (Xy    punktu Z₃, a także współrzędna punktu Z,.

Ponieważ istnieją obserwacje nadliczbowe (f-n-r- 3, przy a ^::7 6 obserwacjach i r~3 niewiadomych: współrzędnych Xy    więc istnieje możli

wość wyrównania trójkąta (rys. 9.1 b). Polega ono na wyznaczeniu takich estymatorów przyrostów

d._Y    d_x^ d_Yy? f =-(A⁷'PA)“¹ A⁷PL

do współrzędnych przybliżonych, że

g(d_v) = V^rPV = tnin

Kryterium optymalności dotyczy więc tutaj jedynie poprawek do wyników pomiaru. Oznacza to, że proces wyrównania polega na optymalnym

(w sensie kryterium min{ę(d_x )= V⁷ PV j-, V⁷ PV ) wpasowaniu wyrównanego

^(I.Y

trójkąta (Zj,Z_?.Ź_:,) w trójkąt przybliżony (Z^zĄ/zĄ). Nie ulega przy tym zmianie położenie punktu stałego oraz współrzędna X punktu Z,.

Przyjmijmy teraz, że również współrzędne, dotąd traktowane jako stałe, mogą się zmieniać. Zakładamy więc, że w procesie wyrównania również i do nich będą wyznaczane odpowiednie przyrosty. Nie eliminowany defekt zewnętrzny d_r - 3 oraz brak defektu wewnętrznego W - 0) oznaczają, że w analizowanej sieci geodezyjnej defekt całkowity d= d„-\- d - 3. Natomiast po ustaleniu, zgodnie z ogólnymi zasadami, liczby obserwacji nadliczbowych, ponownie uzyskujemy

/ = n — r -i- d - 6 -6 + 3 = 3

Sieci o niezerowym defekcie całkowitym wyrównywaliśmy dotąd metodą

warunkową, stosując kryterium optymalizacyjne inin|ę(V) = V⁷PV V⁷PV,

Ve<i>    ^J

⁽T> -- {V : BV + A = 0} (rozdz. 5.2). Takie wyrównanie, polegające na wyznali 02

czaniu estymatorów poprawek V, dotyczy tylko obserwacji. Ustalenie wyrównanych współrzędnych punktów sieci, chociaż stanowi w tym przypadku oddzielne zadanie obliczeniowe, wymaga jednak eliminacji defektu dowiązania, natomiast bezpośrednie ustalenie wartości wyrównanych parametrów, a tym samym wyrównanych współrzędnych, jest możliwe, jak wiemy, przez zastosowanie metody parametrycznej. Jednak w sieciach swobodnych o nie eliminowanym defekcie macierz współczynników A - układu równań poprawek V -• Ad y-- L jest macierzą kolumnowo niepełnego rzędu, czyli R(A) - u, i dla r/>0 mamy /C(A)<r. Wówczas także [/?(A⁷ PA) = h] < r, co oznacza, że macierz współczynników układu równań normalnych A⁷” PAci* + A^rPL = 0 jest macierzą osobliwą. Nie istnieje wówczas jej klasyczna odwrotność, a tym samym w rozwiązaniu dy =    uogólniona odwrotność

ma postać

A'_/0>) = (A⁷ PA)~ A⁷ P

(przypomnijmy, jeśli d = 0, to ft(A^rPA) = r, i istnieje (A⁷ PA) '¹, zatem wtedy Aąp) - (A⁷*PA)”¹ A⁷ P). Przypomnijmy także, że jeśli R{t\^TVA) = u~_rj-d, to

(A[PA,)"'	0	Yfp		(A^7 PA[) A^7 P
0	0	i- > L		0

oraz

‘(AfPAO^Ajr	L =	- (A ^7 PA,)^_ 1 A ^7 PL			^ 0
0		0		*x2	= 0

(9.1)

gdzie A| e 9ł^y,,“. A₂ € 9Pⁱ'^£/ są blokami macierzy A=[A, AtJgSR"'⁷'. Okazuje się więc, że uogólniona odwrotność w przyjętej tutaj wersji A^_P) akceptuje defekt swobodnej sieci geodezyjnej, ale tylko w tym sensie, że przyrostom do współrzędnych w liczbie równej defektowi, przyporządkowuje wartości równe zeru. W aspekcie geodezyjnym, odpowiada to opisanej wcześniej sytuacji, gdy a priori jest zakładana stałość tych współrzędnych. Wówczas klasyczne rozwiązanie zadania wyrównawczego jest, w istocie, wyborem z ogólnego rozwiązania (9,1) tylko tej jego części, która nie jest trywialna (dyj *0). W rozdziale poświęconym algebrze macierzy mówiliśmy jednak także o innej wersji jednoznacznej ^f-odwrotności maciet*zy A. Jest nią taka uogólniona odwrotność A^_N, że wektor

dy =-A^_nL

stanowiący rozwiązanie sprzecznego układu równań Ady+L-0, spełnia własności

403