Biblioteczka Opracowań Matematycznych
Dla a = 0,01 oraz dla n -1 =5 stopni swobody odczytujemy, że'* = 4,0321 Po podstawieniu do wzoru (1.26) otrzymujemy:
Biblioteczka Opracowań Matematycznych
0,026 - 4,0321
°’704 ;0,026 + 4,0321 °’704 %
Po obliczeniu otrzymujemy przedział ufności dla średniej (-1,244; 1,296). Aby oszacować przedział ufności dla wariancji korzystamy z modelu I dla wariancji.
Dane dla próby są następujące: n = 6 więc przy odczytywania z tablic wartości rozkładu chi-kwadrat będziemy przyjmować (n -1) = 5 stopni swobody, odchylenie standardowe wyliczono wcześniej o « s = 0,704.
Aby zapisać przedział ufności, obliczamy c/ oraz c2 z zależności:
nl 2 \ a
P\X >c:)=- =
= 0,05
2 2
Stąd C| =1,1455 oraz c2= 11,0705
Przedział ufności to: (0,2688;2,5979) - obliczony ze wzoru (1.27).
70/ Pobrano 150 elementową próbą detali elektronicznych. Średni czas bez-usterkowej pracy elementu wynosi 1500 godzin. Na poziomie ufności 0,95 oszacować przedział ufności dla średniej długości pracy elementu jeżeli wiadomo, że średnie odchylenie standardowe długości pracy elementu wynosi <j = 3 Oh.
Rozwiązanie:
Zastosujemy model III dla średniej. Dane dla próby: n = 150; cr= 30h\
1 - a = 0,95 czyli a = 0,05; A' = 1500 . Obliczamy paz zależności:
P(jt/|>^)=0,05; P(U<K)= 0,975; F(pa) = 0,975; ^,=1,96
Ostatecznie przedział ufności dla średniej zgodnie z modelem III ma postać:
-J n - \
fn - 1 j
czyli (1495,18; 1504,82).
T (w godz) |
-0.3) |
<3.6) |
-6,9) |
<9,12) 1, |
<12.15) |
N uczniów |
7 1 |
51 |
55 |
82 |
5 |
71/ Wylosowano próbą 200 uczniów liceum aby oszacować średni czas po-świącony tygodniowo na nauką. Otrzymane wyniki widoczne są w tabeli 36. Tabela 36.
Na poziomie ufności 0,9 oszacować średni czas nauki uczniów.
Rozwiązanie:
Model III. Do obliczenia średniej oraz wariancji wykorzystamy wzory (1.19) oraz (1.21) dla danych pogrupowanych. Dane dla próby przy jmiemy następujące: n =200; k = 5; XjS€ {1,5; 4,5; 7,5; 10,5; 13,5 }; nj = { 7, 51, 55, 82, 5}
n ZUO /=|
n ,=l
S2 = - £ (*,, - X J n, = 7,98 -► 5 = 2,82
P{U < ^0)= l-~ = 1-0,05 =0,95; ^ = 1,65.
s -
-Jn- 1,
yjn- 1
Końce przedziału ufności wyznaczamy ze wzoru: \X-mc
Ostatecznie przedział ufności ma postać:
(7,575; 8,235).
Napięcie |
<0,1) |
<1,23 |
<2,3) |
<3,4) |
<4,5) |
<5.6) |
<*,7) |
<7,8) |
<8,9) |
Dość |
0 |
2 |
5 |
9 |
13 |
15 |
11 |
8 |
2 |
Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego napięcia na poziomie ufności 0,98.
72/ Podczas pomiarów napięcia otrzymano wyniki przedstawione w tabeli 37: Tabela 37.
Rozwiązanie:
Dla obliczeń przyjmujemy następujące parametry : n = 66; k = 10; xis e { 0,5;
f
1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5}. Średnią oraz wariancję obliczymy ze wzorów (1.19) oraz (1.21).
x = ^ S xun, = 5,24; S2 = ± £ (*. - Xfn, = 3,009 ^ 5 = 1,734
OO /-i OO |«|
S
s
Obliczone parametry wstawiamy do wzoru:
Obliczamy :
P<\U\> fi«)= <* =0,02; P(U<na)= l-y=0,99; ^„=2,33
Ostatecznie po podstawieniu wartości do (1.29) otrzymujemy przedział ufności: (1,441; 2,176).
73/ Odchylenie standardowe błędu jednego wysokościomierza w samolocie wynosi a = 2Om. Ile takich przyrządów należy mieć w samolocie aby z praw-
-49-