25 (5)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

.fpiph,.,

³

t²-t +1 AB C

- = h + •

t(2t-\f i 2/ — 1    (2/ — 1 )²

A =

4A + 2B = 1 C-4A-B = -l A = 1

2

r = -2

_{I = 2}jj-3j^₊3j-^~ = 2ln\t\-h_n\2t-\\~ = 2\_n\x-^x²-x ₊ \

— — In|2a- — 2-s/jr¹ -x + I -1|-

2 I

159/

r sin' xdx

'l-f-cos²x

lgx -I o- = arctgt

dx=^dt

i+r

2(r-'\/x²~-x + l-l)

+c

_ r l + /^: dl f cdi r 2dl r dl

~^J, ₊ _L i+r ~ ^J{277j(i77j" J 771~ J7vT"

i+r

= ²J

di

+ 1

- arctgt = 4larctg^ ~ j - arctg(tgx)+C

160/

JH* = F(x)

x, x> 0 O AT = O -x, x<0

Funkcja F(x) jest różniczkowalna w R, więc jest także różniczkowalna dla x = 0. Stąd:

F(x) =

y + C, X> O C x = 0 -- + C, x<0

lim F(x)= lim f(x)= F(o)

x-*0

lim	fx^2 1 —+ C,	= limf
x-*0*	v ^2 J	x-»0*l	2 J

= c

c,=c₅ = c

gdzie C jest dowolną stałą.

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

IM/ J|x-l|o!r = /

x-l JC > 1

r(x)=|x-i|=-

F(x) =

--x + C. x > I

2 ¹ C x = \

O x — \

-x + l x<I

Ponieważ F(x) jest różniczkowalna w R, więc jest różniczkowalna w punkcie x = 1 a stąd ciągła dla x = 1. Stąd: lim F(x)= lim f(x) = f(l)

--+ X + C, JC < 1

2 ³

lim

x-r

/ 2 > X _	= lim	<2 > JC _
--jc + C,		--+ jc + C,
2 \ ^z >	r-*r	l 2 -J

= C

^Ci"i^=C3+i^=c

C,*C,-1

gdzie C| jest dowolną stałą. 162/

rarcsinxo!v r arcsinx*ft

rarcsinx£iv _ r u=t du=dl

arcsinx=r    x = sin/

l dx 2    ■ 2

dt= ,-= x =sin

r tdt

t l-x²=cos³r-J_cos2, sir(arcsior)

^dV=^ft ^V=tg‘ ^=t,g,~ ^^Wg/+l^°^{S| +C=arCSiDf} c^csia)

O-4

+C=

xarcsinx

■J] -sin^: (aresin x)

163/

fX³ arctgxdx

arctgx=t x=tgt

ŚT* ^

_ xarcsinx 1 i. ,i „ + C = —,    + —In l-x +C

2

= jtrgtd/=

u—t

du=dt

dv=tgtdt v= Jtg*td/= —-7—ijdt=tgt-i = ttgt-r - jtgtdt + jtdt = arctgx(tg(arctgx)) + ln|cosr|- ^{arctgxf =

= xarctgx + ln|cos(arcrgx)| - ~ (arctgxf + C

-49-