408 2

408

9. Metody Fouriera

W wielu zastosowaniach fizycznych duże znaczenie ma poniższy związek, analogiczm. do równości Par$evala (zob. wniosek z twierdzenia 4.2.6). Jeśli g jest transformat Fouriera funkcji p, to

(9.5.4)

-co    — co

Inne użyteczne własności podano w zadaniach do tego paragrafu. Dla numeryka analiza Fouriera jest i spotykanym często zadaniem numerycznym, i ważnym narzędziem badania własności metod numerycznych.

Pytanie przeglądowe

Sformułować twierdzenie całkowe Fouriera.

Zadania

W poniższych zadaniach nic żąda się sprawdzania, czy jest dopuszczalna zmiana porządku sumowań, całkowań, różniczkować itd.; zadania wystarcz)' rozwiązać czysto formalnie.

1. Równanie różniczkowe cząstkowe

du d²u ~dt“dx¹

nazywa się równaniem ciepła. Wykazać, że funkcja

sin(2&-ł-l).x

2k+l

«(*.!)=- £«p[-(2* + l)²!] TC *=0

spełnia to równanie różniczkowe dla />0, 0<jc<tt, a także warunki brzegowe «(0, f)~ =y(n, /)=0 dla i>0 i warunek początkowy u(x, 0) = 1 dla 0<*<Jt (zob. przykład 9.2.1)*

2.    Wykazać, że jeśli g (/) jest transformatą Fouriera funkcji ?(£)> to

(a) e^l9i“'g (t) jest transformatą Fouriera funkcji    +a),

(b)    (2xit)^kg(t) jest transformatą Fouriera funkcji P^(Ł>(Ć). jeśli ?(£)> <p'(.0> •••« ^p ' • dążą do zera dla |ó| -♦ 00.

3.    Wykazać, że jeśli funkcje i ę>₂ mają odpowiednio transformaty Fouriera g 1¹

transformatą Fouriera iloczynu    (0^2(O jest splot funkcji g₂ i tj*

0(0= ] gi(x)g₂(t-x)dx. —n

(To twierdzenie jest bardzo ważne w zastosowaniach analizy Fouriera, np. do niczkowych i teorii prawdopodobieństwa.)

4. Udowodnić równości Parsevaia (92.7) i (9.5.4).