40 (183)

2.2.4. Okresowość funkcji

(dodanie do argumentu okresu t nie zmienia wartości funkcji)

(zwana okresem)

lub funkcji) trygonometryczną (por. 53.4.).

Funkcja / jest okresowa, gdy:

V Alx + l)eD₍A/(t + i)=/(j:)

,e(ł\{o} *«Of

Jeśli określony fragment wykresu powtarza się, tak że cały wykres można otrzymać przez powielenie tego fragmentu, to mamy do czynienia z funkcji) okresową, na przykład:

W przeciwnym przypadku funkcja nie jest okre- \ sowa (por. 2.5.2d.).

Jeśli istnieje najmniejszy spośród wszystkich do- 1 datnich okresów funkcji /, to nazywamy go okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji /. Na przykład funkcja y = tg x jest okresowa, jej okres podstawowy t = n i tg(x + 7t) = tgx dla x =£    + kn:

rw"tli

(powtarzający się fragment wykresu)

mmmmm

Os»

Wykaż, że funkcja:

a)    /(x) = 3jc - 4 jest różnowartościowa,

1x1 + 4

b)    / (x) =    ^-jest funkcją parzystą.

x - 4

Komentarz

Rozwiązanie

a) Wykażemy, że dla dowolnych dwóch różnych argumentów x, i x, funkcja /( x ) przyjmuje różne wartości.

/(x) = 3x-4

Niech x,, x, 6 D_f i x, # x,~ x, - x₂ ± 0 /(x,) = 3x₁-4 /(*,) =    ⁴

/(*,) -/(*>) s (3*1- ⁴) i (3*,- p =

= 3x,— 4 - 3x₂+ 4 = 3(x,-x₂) # Odia x,-.x₂^ S

tzn. że / (x) jest funkcją różnowartościową.

b) Wykażemy, że dla dowolnych argumentów x i -x funkcja / (x) przyjmuje tę samą wartość.

jx| + 4    _v ,    ,

zatem A x G D_f «=» —.v G D,

/(■

X |-.v| + 4    1*1 + 4    _ l-v| + 4

-x) -5-- —■—-—:--—t-

(-x)-4    (-1) .V-4 -v -4

A |(-x)G0/^A/(-xW(.v)|.

I to znaczy, żc f(x) jest funkcją parzystą.

O