471 2

47!

Rozdział 4

(*-0, 1,gdyż wtedy Ujp)=0 dla wszystkich wielomianów n-tego stopnia, jest jednak

"ż,¹    . vkn

Ł(r,)=. £(-I?fl,cos—-•

4-0    n-t-1

Oblicycnia podobne do tych, które wykonano w dowodzie twierdzenia 4.2.4 (dla przypadku dyskretnego), dają równość L(TJ)=Q (v=0, I,

§ 4.6

J. Równania (4.6.4) łatwo sprawdzić, różniczkując (4.6.2) i podstawiając odpowiednie t. Kolejne różniczkowanie daje

2

4Ś00=-r- L(3a, -1+3«. -1) *    1 -®i-1]

^hi

(dla prostoty j>rzyjmujemy    <Ą, a_l^_J=k,—d_i). Stąd

2

dla t=0:    ^;₁U_+l)=-(-2a,-«,)•

«i+i

Warunek ciągłości drugiej pochodnej funkcji sklejanej oznacza, że te dwa wyrażenia muszą być równe. Stąd równanie

2d|)—t^-(—2fcj+2d_ł+1—fc_l+1+rf,₊₁).

"ł    ^i+i

Mnożąc obie strony przez h_i+, otrzymujemy (4.6.3).

2. (a) /(*)=*+ jest wielomianem sześciennym w każdym z przedziałów (—co,0) «(0, oo), a/,/' i/" są wszędzie ciągłe. Stąd wynika, że x³ jest funkcją sklejaną dla każdego układu węzłów zawierającego 0. Jest też/"'(*) = 6 (x>0) \ f" {x)=0 (*<0).

(b) Niech / będzie funkcją sklejaną sześcienną równą s_t(x) w przedziale [x,_ i, Xj). Pojmujemy więc pfx)=s_l(x). Niech A, oznacza skok s’"(x) w węźle x_t :

4-Wt-Si" (i = J, 2,..., m — l).

Wyjmując    otrzymujemy żądaną reprezentację. Z konstrukcji wynika, że p(x)

* ^ są jednoznacznie określone.

Całka = suma wzoru trapezów + ^ (£<>—A**) A³.

4* Rozważmy funkcję sklejaną z węzłami x₀, x,_/2, x_a,...,    x_M__1/2> x_m.

Oczkujemy wyrażenie dla q" podane w* rozwiązaniu zadania 1:

"i

stając z tego wzoru dla przedziałów [*₀, x_tfl% [jc_1/2, o długości każdy i żą-