501 2

5(ll

Rozdział 7

,    ,    V

I <b) P = hD(b_n^h_iP-yb₁V³4    i>₀ + 6,F + M'’ + - =3j^7j-__pj'

(fo_<,+fc₁F + b_iF^a + ...)(F+łr² + ^'³-r...)sr.

I przyrównanie współczynników daje b_fl- !. b- = -    - \_y

5. (a) >i=(-jyjr₀.

(-j)>₀=(.i-£r.v₀= i f")(-ife=1 (")^o=n 4-j)-A₀=x_r.

1 = 0 W    roW

(b) Niech będzie>• = O ₀. y,, . , _)\_V)^T. *=(*o,    .... x_w)^T

>,-=( • J)‘*₀= X (/) (“ Wij <ⁱ⁼⁼⁰. ¹.....^v)•

y- U V/

Ten związek można wyrazić w postaci y = Ax. Wynik (a) świadczy o tym. że x=Ay. tzn. /4“ ^łx dla każdego x. Słąd A~^J — A.

§ 7.7

I. Wprowadzamy współrzędne biegunowe r. <p: x=rcoiv, >■ = r sin ę, dx dy—r dr dę. Po całkowaniu względem r

2n

J=k~‘ J [I— cos(A.5in ę)\d<p. o

Ta całka nie wyraża się w skończonej postaci przez funkcje elementarne. Jej wartością jest 0— J_c(k))’2Kfk, gdzie J„ jest funkcją Besiela; zob. np. Abramowitz i Stcgun (29] lub Jahnkc. Hmde i Ldsch [40]. Zauważmy, że funkcji podcałkowa zmiennej jesi okresowa, wobec czego bardzo efektywny jest tu wzór trapezów’ (z.ob. <$ 7.4.5 (c) i zadanie 6 z § 7.4). Jest on bardzo użytecznym narzędziem w programach obliczania funkcji Bessela i wielu innych funkcji przestępnych wyrażających się przez całki.

2. Jakobian przekształcenia jc^t równy

a cos t ■ br cos f - b sin t (— arsin i)—abr.

Stąd

)    -*

I-ab |' rdr J ufrircosf. br sini) di. b    o

Uwaga 7. rozwiązania poprzedniego zadania jest i tu ważna.

3. Algorytm 198 z Conum. ACM 6.8 (sierpień 1963).

" i:—Jntegral{sin{x)^2^IntegraU2xsin(y)\2)sqrt{\-hxy.xAyy.y)_J y, 0, >ęrr(l —

[    x), 5, _ł0 ~6). x, - I. sgri(3)/2, 4. _lo-5);

a: * a - Integra! (sin (,v )T 2 x Iniegral (2 x sin (v) f Ijsgrt (1 -+- * x x -fv * y), y, 0, 0.5, 5, nł"-6), x, sqrl{3)/2,3,4. io ~ ó)