5(ll
Rozdział 7
, , V
I przyrównanie współczynników daje bfl- !. b- = - - \y
5. (a) >i=(-jyjr0.
(-j)>0=(.i-£r.v0= i f")(-ife=1 (")^o=n 4-j)-A0=xr.
1 = 0 W roW
(b) Niech będzie>• = O 0. y,, . , _)\V)T. *=(*o, .... xw)T
y- U V/
Ten związek można wyrazić w postaci y = Ax. Wynik (a) świadczy o tym. że x=Ay. tzn. /4“ łx dla każdego x. Słąd A~J — A.
I. Wprowadzamy współrzędne biegunowe r. <p: x=rcoiv, >■ = r sin ę, dx dy—r dr dę. Po całkowaniu względem r
2n
Ta całka nie wyraża się w skończonej postaci przez funkcje elementarne. Jej wartością jest 0— Jc(k))’2Kfk, gdzie J„ jest funkcją Besiela; zob. np. Abramowitz i Stcgun (29] lub Jahnkc. Hmde i Ldsch [40]. Zauważmy, że funkcji podcałkowa zmiennej jesi okresowa, wobec czego bardzo efektywny jest tu wzór trapezów’ (z.ob. <$ 7.4.5 (c) i zadanie 6 z § 7.4). Jest on bardzo użytecznym narzędziem w programach obliczania funkcji Bessela i wielu innych funkcji przestępnych wyrażających się przez całki.
2. Jakobian przekształcenia jc^t równy
a cos t ■ br cos f - b sin t (— arsin i)—abr.
) -*
I-ab |' rdr J ufrircosf. br sini) di. b o
Uwaga 7. rozwiązania poprzedniego zadania jest i tu ważna.
3. Algorytm 198 z Conum. ACM 6.8 (sierpień 1963).
" i:—Jntegral{sin{x)^2^IntegraU2xsin(y)\2)sqrt{\-hxy.xAyy.y)J y, 0, >ęrr(l —
[ x), 5, ł0 ~6). x, - I. sgri(3)/2, 4. lo-5);
a: * a - Integra! (sin (,v )T 2 x Iniegral (2 x sin (v) f Ijsgrt (1 -+- * x x -fv * y), y, 0, 0.5, 5, nł"-6), x, sqrl{3)/2,3,4. io ~ ó)