507 2

507

Rozdział 8

jest y₅* -2.6-10"\ Stad za pomocą ekstrapolacji Richardsona (A = f, Aj %3.496; A=* ż| *3.616) otrzymujemy A, *3.656.

(c) Wartość A, =3.496 w (a) bierze się z najmniejszego pierwiastka równania

(A-²t)(^)-(t)²=0

99 ±y 5045

Pierwiastki: --    .

8

Jako pierwsze przybliżenie X₂ bierzemy więc X₂*(99 +v 5045J/8*21.3. Postępując jak w (b), otrzymujemy (dla A = |) ostatecznie, że ż₂ -26.7951. Ekstrapolacja Richardsona daje A₂ *26.8+(26.8-21.3)/3* 28.6.

4. Po całkowaniu metodą Rungego-Kutly mamy

>•(!)=y, +c₊ A⁴+c_a A⁵ + 0( A^A).

Iloraz wybranych długości kroków me jest stały, więc ekstrapolacji nic można użyć bcz-/; pośredn o. Można jednak wykonać dwie oddzielne ekstrapolacje z.godnic z poniższymi tablicami, a wyniki zastosować do oszacowania błędu.

iht\ /20\

Mtanowmk=(-_j) -1 = ^) -1 = 15.

^h	A = 6.76	2 = 6.77	. a=ó.78
1 ift	16126	5174	-5752
K ió	15261 15203	4304 4246	-6627 -6685
h	(h /20\ Mianownik =| 1 —1=1 1-1 = W \ 15/ A = 6.76 2 = 6.77		175 51 * 2 = 6.78
i is	15396	4441	-6490
i io	15261 15199	4304 4241	-6627 - 6690

Wnioskujemy stąd, że błędy wartości ekstrapolowanych wynoszą ±5. Korzystając z drugiej tablicy, otrzymujemy za pomocą interpolacji odwTOtnej X*6.7739.

„    21"    2i + 2

5. (a) -—- u./_ i— (z — /.h~)u_i^Jr——-u_fł._i = 0    (0^i^/V-h. Warunek brzegowy:

2l + 1    +1

a_v=0 (zauważmy, że współczynnik przy «_, jest zerem).

(b) iV= 1 =»■ A =--4.5; .V—2 => 2 = 5.28. Ekstrapolacja daje 2 = 5.72 (wartość dokładna: Ą X = 5.784). Zauważmy, że A,//*₂ =

(c)    Jeśli macierz >4 odpowiada równaniom z (a) i Z> -diag £(2i t I) (2J+3)]¹'², to ^[ AD jest macierzą symetryczną. Takiego przekształcenia można użyć do symetryzaeji

J? macierzy trójprz^kątniowej o dodatnich elementach obok głównej przekątnej.