56 (128)

więc

	i	0	o'		r 33	3	f
	_2				64	16	32
	_ I	1	0	_	3	5	1
	2	3			‘i^6	36	24
	8	6	4.		L 32	24	16.

r i

2

u~(R~ y

o o

Przykład 1.13

Na podstawie rozkładu na czynniki trójkątne, obliczyć odwrotności macierzy:

	*2	8	2		~9	0	6'
A =	1	7	7	B =	0	1	0
	0	2	5		6	0	8_

bez wyznaczania wszystkich elementów odwrotności czynników trójkątnych.

Rozwiązanie

Macierz A. Jeśli przeprowadzimy rozkład tej macierzy na czynniki trójkątne, uzyskamy

2 0 ()'	"i 4 r		2 8 2
i 3 0	0 1 2	-	l 1 7
0 2 1	0 0 1		° 2 5_
H^7	G	—	A

Do obliczenia odwrotności A"’¹ zastosujemy relacje

(■)

umożliwiające przygotowanie dwu następujących schematów (z bezpośrednio dostępnymi informacjami o elementach odwrotności G"‘^l i II"¹):

i	"2	!	0"	-hi	*21	*31		'l 0	0‘
	0	3	2	*12	^X21	*32		* I	0
	0	0	I	_*i 3	-^v23	*33 _			1
		II			(A”^1)^7'			(G“	)^T
	"l	4	{'	*i i	*2)	*31		'* 0	0'
	0	1	2	*i 2	A'22	*32	=	* *	0
	0	0	1	_*i 3	*23	*33 _		_* *	*
		G			A“‘		=	(H~^l	)^T

Zwróćmy uwagę, że na podstawie pierwszej relacji, mnożąc kolejne (lecz zaczynając od ostatniego) wiersze macierzy H przez trzecią kolumnę macierzy (A~*)^r, można wyznaczyć wszystkie elementy tej kolumny. Zatem:

0 • A'3 [ + 0 ■ X p + 1 A'v, — 1 CD	—>	A'33 = I
v 0 • a'3 | + 3 • a'32 + 2 • a'33 — 0	>» —>	IJ U f
0 9
2 • A31 + 1 • A'32 + 0 ■ A'33 ^= ®	—>	r _ 1 Tn -3
Skoro		^xl i ^x21 3
(A"	)^T =	y A’{ 2 A'22 'i'
		-^vi:i ^x22 *

więc korzystając z drugiej relacji układu (Ba), przygotujemy następujący schemat:

f	1 4 1	^a'm ^ri2 ^x\:\		* 0 0
L.....	0 ! 2	A'-)j Att Ap	-	* * 0
	0 0 !	Li -f «J
	G	A ^1		(H V

Tym razem można rozpocząć działania od mnożenia drugiego wiersza macierzy G przez trzecią kolumnę macierzy A"¹. Zatem:

0 • .v, ₃ -i-1 - ,r₂₃ +2-1=0    =>    -v₂₃ = -2

a następnie

A =

^X12

7

-2

1

a tym samym możliwy staje się powrót do pierwszej relacji, tzn.

57

1

• .tj ₃ + 4 - a'23 + 11—0    .t| 3 — 7

W wyniku ww. działań uzyskaliśmy macierz