61 (103)

Stanisław Szuba

9. Analiza harmoniczna Cel ćwiczenia

Uzyskanie widma fourierowskiego prostych funkcji za pomocą programu komputerowego, pomiar częstotliwości i amplitud składowych harmonicznych, porównanie zmierzonych wartości z wartościami teoretycznymi.

Wprowadzenie

Program komputerowy Fourier-idea znakomicie ułatwia zrozumienie idei analizy harmonicznej.

Pokazuje on składowe harmoniczne dla wielu funkcji w postaci liczbowej i w postaci wykresu.

Użytkownik może tworzyć krok po kroku widmo i zobaczyć wynik sumowania harmonicznych.

Pobierz program ze strony internetowej Wydziału Fizyki Technicznej i poćwicz analizę harmoniczną przed przystąpieniem do ćwiczenia.

Analiza harmoniczna jest matematycznym narzędziem analizowania dowolnej funkcji periodycznej przez jej rozłożenie na sumę znacznie prostszych funkcji harmonicznych (sinusoidalnych) tworzących szereg Fouriera. Nazwa szeregu wiąże się z nazwiskiem francuskiego matematyka i fizyka Josepha Fouriera, który wprowadził go w swojej pracy na temat przewodnictwa ciepła Theorie Analitiąue de la Chaleur {.Analityczna teoria ciepła), opublikowanej w 1822 roku. Analiza Fouriera ma bardzo duże zastosowania, między innymi w analizie drgań, akustyce, optyce, spektroskopii, przetwarzaniu obrazów i kompresji danych (np. obrazów - JPG czy dźwięku - MP3).

Przypomnijmy, że funkcja harmoniczna, o okresie T ma jedną z postaci:

h(t) = a cos (cot\

h{t) = b sin (cot),    (9.1)

h{t) = a cos {cot)+b cos {cot),

gdzie a i b są amplitudami, co - częstotliwością kołową {co = 2n/T), a zmienna t może oznaczać czas albo położenie.

Na rysunku 9.1 przestawiono wykres pewnej Sankcjij^, która została utworzona przez dodanie czterech znanych funkcji harmonicznych mających różne okresy i różne amplitudy. Mamy więc pewność, że wypadkowa funkcja jest sumą funkcji harmonicznych. Analiza harmoniczna jest procesem odwrotnym, tzn. znana jest funkcja^a chcemy się dowiedzieć, jakie są częstotliwość i amplituda składowych funkcji harmonicznych.

Okresowa funkcja^) o okresie T może być rozwinięta w szereg Fouriera. To twierdzenie wyraża się matematycznie za pomocą równania: