69 (217)

ii

I

HS

• p./vkł.»d in?

Obliczyć residua podanych funkcji w ich punktach osobliwych:

^{a)/w =} ?T?^{; b}>«') = ?4r[’ ^{c) /w =} (lĄj5^;

ctgz    //.\ _ 2 i^-

d) f(z) =

Rozwiązanie

a) Mamy z² -f 7r² = (z + x«)(z — jr«). Zatem punkty zr* oraz —iri są zerami jednokrotnymi mianownika funkcji /(z). Ponieważ nie są zerami licznika funkcji /(z), więc są jej biegunami jednokrotnymi. Do obliczenia residuów w tych punktach wykorzystamy wzór:

e) f(z) - ze.

res_l0/(z)= lim (z-z₀)/(z). z—1₀

Zatem

res„,

z² + z-²

= lim

= lim

(z - 7r»)

(z + X«')(z — 7Tt)

(z + 7Tt) -

= lim

z — iri Z + X« 2 ’

= lim

1

(z + jr«)(z - ir«)

b) Punkty z* = 2fcjrtj gdzie k £ Z, są zerami jednokrotnymi mianownika h(z) = e* — 1. Punkt zo = 0 też jest zerem jednokrotnym licznika g(z) = z, więc dla funkcji

/(z) = iifl = —f_

h(z) e¹ — 1

jest on punktem pozornie osobliwym. Stąd reso/(z) = 0. Dla Jfc yź 0 punkty z* = 2fcz-ł są biegunami jednokrotnymi funkcji /(z). Ponieważ mamy

= ° oraz h' (z*) = e*|„_2fc)ri = 1 #0,

więc do obliczenia residuów w tych punktach możemy wykorzystać wzór:

_res £(£l .1 ?(«*)

Otrzymujemy

z—-jri z — iri 2

res₂k,

2kxi

= 2kxi, gdzie k £ Z\ {0}.

e* — 1    1

c) Punkt zo = 5 jest zerem trzykrotnym mianownika funkcji f(z). Ponieważ równocześnie punkt ten nie jest zerem licznika funkcji /(z), to jest jej biegunem trzykrotnym. Residuum obliczymy stosując wzór:

^reS*^o/(z) =    }™,₀ K* " *) /(*M •

zc*

Przyjmując w tym wzorze /(z) = --tj, zo = 5 oraz k = 3 otrzymamy

(z — 5)^J

ze¹    1    d

ress t--nr = — hm

(z — 5)³    2! z—i dz²

1    lim y

2    z-s dz²

(z - 5)

3 ze

(z - 5)³

⁼ ? 1“". iia (^ze‘) = \ |‘JP_S [(- + ^z)^e'l =

Dziesiąty tydzień - przykłady

147

d) Punkt zo = O jest biegunem dwukrotnym, a punkty Zk = kr, gdzie k € Z \ {0} są biegunami jednokrotnymi funkcji /(z)- Przyjmując we wzorze * (przykład c)) /(z) =

^C-—, zo = 0 oraz k = 2 mamy

z

ctgz    1 .. d ( ₂ctgz\ .. d .    >    ..    sin z cos z — z

res₀ —2— = — lim — z'¹ -2- = lim — (z ctg z) = lim -—-

z    1! r—o dz V z / z—o dz    z—o    sin z

cos² z — sin² z — 1    —2sin² z .. —sin z

= lim -:-— lim —- = bm - = 0.

z—o    2 sin z cos z    z—o 2 sin z cos z    z—o cos z

Teraz z kolei we wzorze • (przykład b)) przyjmujemy g{z) = cos z, h(z) = z sin z. Mamy

ctg z    cos z cos z

res**- = res*.

z sin z (z sin z)'

z — kn

i

sin z + z cos z l„*„ kr

dla * ć 0.

e) Punkt zo = 0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji /(z). Rozwijamy funkcję /(z) w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu zo = 0. Mamy

/(«>

= *V ₌z²(¹ + _T|_I + ^ + ₅^ + ₅^ + ...)=z^J + iz-i-^ + _ilj + „._I

2 “    X

gdzie 0 < |z| < oo. Stąd resoz e = c_i = —

Korzystając z twierdzenie całkowego o residuach obliczyć podane całki po wskazanych krzywych zorientowanych dodatnio:

a) J _z2 2' s^dzie c i^{esŁ okr}ęg>^em M - *■;

c

, gdzie C jest trójkątem o wierzchołkach 1 —    —1 — i, 2i;

z³ (z² + 2)

c

c)    J y, gdzie C jest okręgiem |z — Trjj = 4;

C

^d)    / z cos-, gdzie C jest okręgiem |z| = 1.

^b>/?

Rozwiązanie

a) Pierwiastkami równania z² — iz + 2 = 0 są zi = —i oraz z₂ = 2«. Oba te punkty leżą wewnątrz okręgu C i są biegunami jednokrotnymi funkcji podcałkowej. Obliczamy residua tej funkcji w punktach z\ i Z2. Mamy

-i—-r—r = lim

Z^J — tZ + Z r—-i

(* + 0;

— bm

1

(z + i)(z — 2i) z—-i z — 2i 3