88 (54)

Własności wartości oczekiwanej:

1.    £(c) = c, c - stała

2.    E(cx) = cE(X),

3.    E(X ±Y) = E(X)±E(Y),

4.    E(X ■Y)^E(X)-E(Y), gdy X i Y są niezależne.

Własności wariancji:

1.    V (c) = 0,

2.    V(cX)=<rV(X),

3.    V(X ±Y) ~V(X) + V(Y), gdy X i Y są niezależne.

Jeśli Aj,    X_n są zmiennymi losowymi wzajemnie niezależnymi

o wariancjach V(X\), V(X₂),...,V'(X„) oraz Z = <p(X_i, X?,---, X„) = ę(X) jest funkcją różniczko walną, to

V(Z)

d(p

dx'i

V(X0 +

(A?....) v_(X^)+ ... +(V{X„)

[dx₂

BX

(2.18)

lub

gdzie: D =

V(Z)=

(2.19)

d(p

d<p(X) __ i.)<p    d<p

~lx“    dx"₂..... dx,

	V(X,)	0	0
Cx =	0	V(X2) •	0
	0	0	• V(XH)_

Uwaga: uogólnienie powyższych wzorów podano w rozdz. 4.

Momenty

Momenty stanowią szeroki zbiór parametrów opisowych zmiennej losowej (elementami tego zbioru są także omówione wcześniej parametry podstawowe). Momenty &-tego rzędu definiuje wyrażenie E[(X—c)^k } o przedstawionych poniżej przypadkach szczególnych.

Momenty k-tego rzędu E[(X-c)^k\

		/ ^ * i5 >3
momenty zwyczajne		momenty centralne
»iA - £(**)		u* = £{[X-£(X)]^a'}
A'= 1		A- = 1
$ 1!		u. = E{X~~ E{X)! = E{X) - l

k = 2 = E(X²)

k ~ 2

/i, - £{[Af~ MA-) j²} = £(AT²) - E²(X) =    - m² = K(AO

k - 3

^ = £{[X-£U)j³} k = 4

u, = £{[,r- £{A0]⁴}

Na podstawie momentów «₂, u₃, ot_<} można wyznaczyć współczynniki asymetrii i ekscesu (rys. 2.1.0):

, . _v ^3    _ fh ,    ,

asymetria /i--------Y eksces y₃ - —- 3

(yA^2 k    O"    /i₂

89