CCF20090319051

60 Całkowanie

Mamy y/ x² + k = t — x, po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy

t² — k

21

a następnie liczymy

(21)² - (t² - k) ■ 2    t² + k

(W * = -&-«■

dx =

Wobec tego

t² + k

I dx

yj x² + k

t -

21

Po powrocie do zmiennej x otrzymujemy ostatecznie

J

ln \x + yj x² + k\ + C.

dx

yjx²'+ k

Przykład 14 jest szczególnym przypadkiem wzoru ogólnego

/

dx

= ln

x +    + yjx² +px + <

+ C.

y/x² + px + q

Wzoru tego nie należy uczyć się na pamięć. Wystarczy wiedzieć, że istnieje.

Obliczanie całek nie zawsze jest proste. Są całki, które potrafimy wyznaczyć metodami, jakie tutaj opisaliśmy, trudniejsze możemy odczytać z tablic matematycznych, a bardzo skomplikowane obliczamy metodami numerycznymi. Technikę całkowania opanowuje się przez ćwiczenie.

W każdym z zamieszczonych zadań przez odpowiednie przekształcenie lub podstawienie sprowadzamy badaną całkę do postaci, którą znamy.

Zadania

2. J(x² — x + 1)(£² + 1) dx 4. j (t³ — 2)(t⁴ — 81 + 6)³ dt

A. Wyznaczyć następujące całki: 1. I y3x² - 5x + 3 + — J dx.

dx.

5. J x(3x² - 5)²