CCF20120509083

*7W v    mm* i\i;/.uu{#.aiiia i uupun ivum

5.1. Równania ruchu płynu lepkiego.

Ruch laminarny i burzliwy

5.1.1. Przepływ cieczy jest ruchem płaskim, który w układzie współrzędnych prostokątnych (rys. II-5.2) możemy opisać równaniami Naviera-Stokesa i równaniem ciągłości:

dv_x    dv_x dv_x    1 dp

+ ^vx~ź--k ^Vy~Z--k ^Vz~^~ ⁼ %--r--1- V

ot 0x oy oz    pox

0²i

+ -

0²i>_v

0 x² 0y

+

0²t

0 Z²

0^,

0 t

0 Vy

0 X

dVy

0y

0 V

~dz 0a

l _

1 0p

pdy

+ v

0 ²t

^; +

0²l

+ '

0²D,

0 x² 0y²    0 z

. +^ = o.

0x 0y

Ponieważ

v_x = v(y) = v, v_y = 0,

9^ ₌ H _{= n}

0 t 0 f

ir-°-

ć x    0y

X = g sin a,    7= — g cosa,

przeto równania Naviera-Stokesa sprowadzają się do równań różniczkowych zwyczajnych:

d²t>

dy²

0 ■

--sina

(2)

(3)

(4)

y + c j,

oraz

d p

— = -pg cosa.

dy

('nlkując wyrażenie (1), otrzymujemy:

dv gfsma d y

gsina ₂

v =---—y² + C_ty + C₂.

2v

Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych, a zatem

dla y = 0, v = 0, C₂ = 0,

^ = 0 dla y = H, dy

t / y 1 i zachodzi „znikanie” prędkości na powierzchni swobodnej cieczy, wobec tego

I'odstawiając stałą C_t do równania (4), otrzymujemy funkcję rozkładu prędkości:

g sina

v = ■

2v

(2 Hy-y²).

(5)

Całką równania (2) jest wyrażenie

p = — pgy cosa + C₃,

W którym dla y = H

P = P_b,

■i więc

C₃ = p_b + pgH cosa.

W związku z tym, rozkład ciśnień opisuje następująca zależność:

P — Pb + Pg cosa (H—y).

()bjętościowe natężenie przepływu

Q = $vdA,

A

(idzie

d/1 = bdy,