CCF20120509059

4.** 4. i\u/.ni<[#,<uiid i uu|»umv;u/,i

z których po wyeliminowaniu t otrzymamy równanie toru

f{x, y, t_o) = 0.

c. W przypadku przepływu ustalonego, czyli dla b = 0, równanie linii prądu upraszcza się do postaci

a(y- 2) = ł(x²- 1),

natomiast równania parametryczne toru można zapisać następująco:

x — 1 = a(t — t₀) y-2 = (t-t₀) 1

Eliminując z ostatnich zależności (t — t₀), otrzymujemy

a(y- 2) = i(x²- 1).

Z przeprowadzonych rozważań wynika, że dla przepływu ustalonego linia prądu pokrywa się z torem poruszania się elementu płynu.

4.1.3. Równanie różniczkowe linii prądu

dx dy

oraz

dla

v_x — x + t

będzie miało następującą postać:

v_y = -y + t,

dx dy x + t —y + t’

a jego ogólnym rozwiązaniem jest całka

(x + t)( —y + t) = C.

W chwili t = 0, x = — 1, y = —1, czyli C = — 1, stąd równanie linii prądu

W celu wyprowadzenia równania toru poruszania się cząsteczki płynu, korzystamy z układu równań różniczkowych

dx

v_x = _Tt=x + t,

dy

dt

= -y + t,

których ogólnym rozwiązaniem są poniższe zależności:

x = Cje' — t— 1¹⁾, y = C₂e~‘ + t — 1.

I Hu x = — 1, y = — 1 oraz t = 0

Cj — C₂ — 0,

wobec tego

x - — t— 1 y = t-1.

I liminując z przedstawionych wyrażeń czas t, otrzymujemy równanie toru, po którym porusza się cząsteczka płynu:

y = —x —2.

Z otrzymanych równań wynika, że linia prądu oraz tor mają wspólną styczną

w punkcie K(—1,-1).    ^

4.1.4. a. W równaniu różniczkowym linii prądu wiatru

dx    d y

^Vx

v_x — vcoso)t, v_y = — rsincot,

iiiem

dy    v_v    vsinu>t

-7- = — =--: = -tgcor.

dx    v_x    i; cos cot

< »|iólnym rozwiązaniem otrzymanej zależności jest wyrażenie:

y = —xtgcut + C.

Mula całkowania jest parametrem rodziny linii prądu, które są prostymi równoległymi, pi /ucinającymi oś x w czasie t pod kątem —cot (rys. II-4.la). Ponieważ dla

x = 0, y = 0, więc stała C = 0;

Mi|d linię prądu przechodzącą przez początek układu osi współrzędnych opisuje lówminie:

y = —x tgcot.

¹¹ Jednorodne równanie d.x/dt = x ma ogólne rozwiązanie x, = C,e'. Rozwiązanie niejednorodnego minia dx/dt = x + l możemy między innymi otrzymać przy założeniu, że x₂ = at + b, czyli x₂ t I,

•> wcjwuzas

x = x, +x₂ = C,e‘ — t— I.