Strona0137

137

Przez podstawienie rozwiązań (6.35) do (6.34) i po podzieleniu otrzymanych równań przez otrzymano:

[m_l X² +    + a)X + (£, + &)] Ą - (aX + k) A₂ = 0

~{aX + k')A_l +|~m₂X² +(«₂ + a)X + (k₂ + £)J^4₂ =0

Aby istniały różne od zera rozwiązania Ą, A₂ układu (6.36), wyznacznik charakterystyczny tego układu musi być równy zeru:

(6.37)

^m_iX² +(cc_l + a)X + (Ar_} + £)J, -(aX + k) ~(aX + k), j~m₂X² +(a₂ + a) + (k₂ + fr)J

Po rozwinięciu równanie charakterystyczne (6.37) jest czwartego stopnia ze względu na X.

Przy założeniu, że współczynniki tłumienia są dostatecznie małe, równanie (6.37) będzie miało w przypadku ogólnym cztery pierwiastki zespolone parami sprzężone:

X_l~h_l+ im*, X_i-h₂ + im*₂ |

. r    ⁽⁶-³⁸⁾

X₂ = ~~h_x + ioĄ_; X₄ ~ -ń, - im₂ \ przy czym współczynniki \ oraz h₂ są dodatnie. Części urojone tych pierwiastków m* oraz m*₂ są częstościami drgań własnych rozpatrywanego układu z tłumieniem wiskotycznym.

Pierwiastki (6.38) wyznaczają cztery rozwiązania szczególne liniowo niezależne układu (6.34):

^i~A_ne ¹ +A_l2e ² +A_l2e ³ +A_l4e ⁴ 1    (6 39)

% = Ą_le^Xl* + Ą₂e^A2‘ + Ą₂e^ht + Ą₄e^ht J

W rozwiązaniu (6.39) występują tylko cztery stałe dowolne Aj lub Ąj dla

j ~ 1, 2, 3, 4, gdyż pozostałe cztery stałe są od nich zależne. Z równań (6.36) wynika bowiem, że:

A₂j _ mfl + (a_x + a)X + (fc_} + k) _aX+k_

A_lj    aX+k    m₂X² + (a₂ + a)X+{k₂ + A:)