CCF20140115002

bt> # Zofia Krygowska

tuacjach, w których mają coś zaplanować, coś przewidzieć bez możliwości konkretnego rachunku, w sytuacjach prostych, ale wymagających już rozumowania inferencyjnego, przygotowujemy je do matematycznego myślenia, do pojęciowego ujmowania zależności, praw, twierdzeń. Istotnym zabiegiem jest tu stwarzanie sytuacji, w których dzieci dyskutują, argumentują, mają pełną motywację i chęć przekonania przeciwnika o swej racji. W toku takiej dyskusji nie powinno się dzieci onieśmielać zbyt wczesnym wymaganiem wyrażania ich myśli w ścisłym języku matematyki dorosłych. Ten język trzeba kształtować oględnie i stopniowo. W ferworze dyskusji, w toku poszukiwania rozwiązania zadania, dzieci mogą porozumiewać się jeszcze ich dziecinnym matematycznym językiem. Dopiero w ostatniej fazie przy podsumowaniu, lub w toku pracy przy prostowaniu błędów, przy zbyt wielkich niejasnościach można i trzeba wypowiedzi dzieci poprawiać. Jeżeli chcemy jednak rozwijać odwagę intelektualną dziecka, jego aktywne nastawienie do matematyki, musimy być ostrożni w zbyt wczesnym krępowaniu jego wypowiedzi wymaganiami ścisłości.

Twierdzenia o nierównościach sum i nierównościach różnic stanowią teoretyczną podstawę dla rozwiązywania nierówności, co sugeruje już dla nauczania początkowego H. Moroz w podręczniku [P3. HM]. Trzeba jednak zaznaczyć, że tu bezpośrednio wykorzystuje się twierdzenia odwrotne do twierdzeń 5 i 6. W przykładzie 1 ze stronicy 56 tego podręcznika rozumowanie: x + 25 < 75, x + 25 < 50 + 25, x < 50, stosuje się (teoretycznie biorąc) twierdzenie: „Jeżeli a + c<b + c, toa< b”, lub mocniejsze twierdzenie, będące połączeniem twierdzenia 5 z tym twierdzeniem: a + c < b + c wtedy i tylko wtedy, gdy a < b. Podobną uwagę nasuwa wzorzec rozwiązania nierówności x — 10 < 27, zamieszczony na tej samej stronicy.^J)

W wyższych klasach uczniowie już świadomie będą stosować te twierdzenia w toku rozwiązywania nierówności. Tak zwane „przenoszenie na drugą stronę wyrazu wolnego” opiera się właśnie na tych twierdzeniach. W klasach początkowych nie wolno nam jednak w tej dziedzinie doprowadzać do automatyzacji przez narzucanie dzieciom takich reguł. Racjonalizacja rozwiązywania zadań tego typu przy odpowiednim sterowaniu przez nauczyciela pracą dziecka pojawi się jako rezultat własnych jego doświadczeń.

*) W 1968 r. w „Życiu Szkoły” (w zeszycie 6) opublikowane zostały założenia i tekst nowego programu nauczania matematyki dla klas I—IV szkoły podstawowej opracowanego przez Z. Krygowską i H. Moroza. Przewidziane tam były nierówności typu a + x < b oraz a ■ x < b w klasie II. Idea ta została zaakceptowana przez ministerialną komisję do spraw programów matematyki; nierówności oficjalnie weszły do masowego programu nauczania początkowego w 1975 r.

W programie z 1983 r. nierówności usunięto z klas I—III. Stało się to na skutek żądań nauczycieli, 'którzy nie widzieli możliwości zrealizowania tego działu w przeciętnej klasie (por. notkę na str. 106).

Niepowodzenia we wdrażaniu tematu „nierówności” w szkole masowej — pomimo jego poważnej roli w kształceniu myślenia matematycznego — wynikły z wielu przyczyn, z których najważniejsze są następujące: 1) obiektywna trudność materiału, 2) brak należycie opracowanej, przetestowanej i spopularyzowanej metodyki nauczania nierówności w klasach młodszych, 3) brak tradycji ujmowania problemów z życia codziennego jako nierówności, a w szczególności brak zadań tekstowych związanych z nierównościami, odpowiednich dla klas młodszych (przyp. redaktora).

7.6. Zadania tekstowe i nauczanie stosowania pojęć matematycznych

7.6.1.    Czy matematyka jest użyteczna na co dzień?

Stosowanie matematyki do zagadnień praktycznych jest w społeczeństwie na ogół pojmowane opacznie. Sprawiły to setki lat tradycji w doborze materiału do ćwiczeń na lekcjach matematyki, obfitującego w zadania o tematyce związanej z życiem i pracą człowieka, ale jako problemy mające mało wspólnego z praktyką. Oto przykłady takich zadań, zaczerpnięte z podręczników sprzed reformy nauczania. _t (1) Tadek obliczył, że 3/8 doby śpi, 1/4 doby jest w szkole, 1/24 doby odrabia lekcje. Ile to razem godzin?

Oczywiście, Tadek najpierw wyliczał czas każdej z tych czynności w godzinach, skąd na postawione w zadaniu pytanie odpowiedzieć byłoby mu bardzo łatwo. Wyrażenie tych danych w ułamkach doby jest całkowicie sztucznym utrudnieniem. Zauważmy przy tym, że niewielka zmiana fabuły sprawi, że zadanie to nabierze rumieńców życia. Sformułujemy je mianowicie tak:

Tadek dowiedział się, że według badań przeprowadzonych w szkole, uczeń śpi średnio 3/8 doby, 1/4 doby spędza w szkole i przez ok. 1/24 doby odrabia lekcje. Tadek sypia ok. 9 godzin na dobę. Lekcje odrabia przeciętnie półtorej godziny i w szkole spędza średnio 7 godzin lekcyjnych dziennie. Pomóż Tadkowi porównać te liczby z danymi uzyskanymi w trakcie badań.

A oto drugi przykład:

(2) Z Warszawy o godzinie 7 wyjechał samochód osobowy do Gdańska. ,, O tej samej godzinie i w tę samą drogę wyjechał z Gdańska do Warszawy samochód ciężarowy. Samochody minęły się o godz. 10 min. 30. W jakiej odległości od Warszawy minęły się samochody, jeżeli prędkość osobowego jest 1,5 razy większa od prędkości ciężarowego i droga Warszawa — Gdańsk liczy 350 km?

Przede wszystkim dla ustalenia szukanej odległości wystarczy ją odczytać na liczniku kilometrów samochodu; obliczanie jej na podstawie danych zadania jest tylko sztucznym utrudnieniem, które nie uczy praktycznego, a więc racjonalnego stosowania matematyki. A przy tym jak należy rozumieć to, że prędkość samochodu osobowego jest 1,5 razy większa od prędkości samochodu ciężarowego? Przecież żaden z nich nie porusza się ruchem jednostajnym, prędkość średnia zaś zależy od bardzo wielu czynników, a jej szacunkowe ustalenie wymagałoby żmudnych i długotrwałych pomiarów i obserwacji. Widać więc, że i to zadanie nie ma żadnego praktycznego sensu.

Oczywiście, nie wszystkie zadania w dawnych podręcznikach są tak odległe od realnych problemów. Jednak wskutek dominacji takich właśnie zadań w kształceniu matematycznym społeczeństwa bardzo trudno przeciętnemu człowiekowi zrozumieć twierdzenie o powszechnej ingerencji myślenia matematycznego w nasze życie codzienne i zaakceptować płynącą stąd konieczność lepszego przygotowania do tego typu myślenia oraz stosowania metod matematycznych.