CCI2013010409

.    ^cos(n-J)x

'O Na podstawie detimcji pokazać, że -—-< ⁰⁰ ■

e" dz

/    ^ Hbli 027^0 esik** (T* -

\J '^N'~^{v    r} i z^{1 2}-2x i z-x~

^CTdzie z € K <=> >z = 4 .

1) Na podstawie definicji pokazać, że ]T In

2n + 2 2n

') Obliczyć L

za pomocą splotu.

Stosując odpowiednie kryterium zbadać zbieżność szeregu

l)

i cos nK

4~n '

z) Pokazać, że VzeC, sin 'Iz = 2 sin z cos z .

x = y

3) Znaleźć rozwiązanie układu równań j ₍    z warunkami

y = —x

^\^.r(0⁺) = 0, y(0") = -1, stosując przekształcenie Laplace’a.

✓    ,    s„¹

Dlaczego szereg ^ ” , j jest rozbieżny ?

\yPokazać, że funkcja /(z) = X me jest holomorficzna na C-{0}.

Wyprowadzić wzór (z dziedziną) na transformatę L[cos2t]

*) .)

1 \    żc funkcja / {^t

VI

f 2 \ sm n x)

;^o+ V1_fl<nr

??

t kłasv CfR).

2)    Obliczyć całkę f-, gdy JW jest a) kwadratem o

;n

równaniu |Rez| + |łm z| = 3 ; b) okręgiem o równaniu |z| = 4 .

3)    Wyprowadzić wzór na transformatę L [sinh 2/].

Stosując odpowiednie kryterium zbadać zbieżność szeregu

v (-³)'    • 1

> - -—-arcsin—.

-Jn n

2)    Rozwiązać równanie tg z = -1 w dziedzinie zespolonej.

3)    Podać definicję funkcji jednostkowej (Heaviside’a) 77

wytłumaczyć jej użyteczność. 1    ^ ^ °³'    *^,4'b

iu,^}

Uz "7

IV

^V'bky/yprowadzić rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji f(x) = In (1 + x) z podaniem dziedziny. Co otrzymujemy, gdy r = l?

Dlaczego w dziedzinie zespolonej (sin z) =cos z?

Które- z następujących funkcji zespolonych mogą być s~ +1

transformatami: 2, —-—. e ^zs i dlaczego?

%

%]łozwiązać równanie e⁼+l=0 w: a) dziedzinie rzeczywistej b) dziedzinie zespolonej.

Obliczyć L

za pomocą splotu.

1)    Dlaczego szereg potęgowy )> n x" jest jednostajnie dla | x] < 0,99 ?

2)    Wykazać,- że V z e C, e^-2' * 0 .

3)    Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego x" + x = /(/), x(CT) = x (o*) = 0, / eOL .

szereg

^st). Nieć*³ f(^x) = -1 dla x e (0,x’),/(.r) = 0 dla x s (tt,2;t).

Dokonać przedłużenia na R tej funkcji tak, żeby otrzymać funkcję okresową i parzystą, rozwijalną w szereg Founera. Podać wzóry na współczynniki tego szeregu (bez wyliczania).

'jf). Wyznaczyć Im (cos 2z). Jakiej klasy jest ta funkcja?

3) Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego x' + x = /(/), x(0' ) = 1, / g OL .

'NlOtrzymać rozwinięcie funkcji f[x) = j ^X—dt w s

0 v ^

potęgowy. Podać jego dziedzinę.

^2), Określić obszar holomorticzności funkcji zespolonej danej wzorem f(x) = tg2z . Obliczyć residua w biegunach tej funkcji.

3) Dlaczego funkcja a) 77 (t)(sint + cost)e OLb) ą(t)e^r g OL ?

Obliczyć j "    " dx z dokładnością do 10'"

J v-

o

_N 2) Jaką rodzmą funkcji zespolonych jest całka nieoznaczona cos 2z dz = ? Wykazać to.

3) Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego

x" + x = 2, x((r) = x ((T) = 0, odwracając poprzez residua.

1

   Pokazać, że V z e C, sin¹ z +cos¹ z = 1.

2

   Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego

x" + 4x = 2, x(CT ) = x (0^ł) = 0, odwracając poprzez splot. —

3

   Niech f{^x) = 1 dla x e (0,jt),/(x) =0 dla x e (z.lnj.

Dokonać przedłużenia na R tej funkcji tak, żeby otrzymać funkcję okresową 1 nieparzystą, rozwijalną w szereg Fouriera. Podać wzory na współczynniki tego szeregu (bez wyliczania).