CCF20130109014

Wobec tego momenty bezwładności względem osi y, z wynoszą odpowiednio:

Iy = Jz²dA    = |(z₀    + a)² dA = Jz]dA    +    2a jz_cdA +    a² JdA ,

(A)    M    (A)    (A)    (A)

l_z = jy²dA    = JO₀    + bfdA = JyldA    +    2b Jy₀dA +    b² jdA ,

M    (A)    {A)    (A)    (A)

^lyz = jy^z dA= J(y_Q + b) (z₀ + a)dA = Jy₀z₀dA + b jz₀dA + a Jy₀dA + ab jdA (a)    (A)    (A)    (A)    (A)    (A)

Uwzględniając, że

⁼ JzgdA , L = fy„dA,

(A)    (A)

= fyo^zo^dA ,

U)

oraz że momenty statyczne pola względem osi centralnych są równe zeru

⁵v„ = J z₀dA = ° i S_I( =    = 0 ,

U)    (A)

otrzymujemy ostatecznie:

(2.10)

I_v — I_v y Aa~, I. = I + Ab², l_vz = I_V , + Aab.

y^z ^0^Z0

Wzory (2.10) stanowią zapis twierdzenia Steinera.

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi przesuniętej równolegli w stosunku do osi centralnej, równy jest momentowi bezwładności względem osi centralnej powiększonemu o iloczyn pola powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami. Zatem moment bezwładności względem osi centralnej jest nnj mniejszy w zbiorze momentów względem osi równoległych do niej.

Moment odśrodkowy figury płaskiej względem osi przesuniętych równolegle w stosunku do osi centralnych równy jest momentowi odśrodkowemu względem osi centralnych, powiększonemu (lub pomniejszonemu) o iloczyn pola powierzchni figury i obydwu odległości między osiami.

) \ ZALEŻNOŚCI MIĘDZY MOMENTAMI BEZWŁADNOŚCI 1' ICURY WZGLĘDEM OSI OBRÓCONYCH

Wy/naczmy moment bezwładności i moment odśrodkowy przekroju względem i * i. -|, które są obrócone o dodatni kąt a w stosunku do osi centralnych y₀, z₀ jak i <1 i .ino na rysunku 2.3.

Rys. 2.3

1‘iimiydzy współrzędnymi dowolnego pola dA w układziey₀, z₀ i w układzie ob-.........    V|, Z| zachodzą zależności:

r, i>₍₎cosa+ z₀sina, z, = -y₀sina + z₀cosa.

i¹    111 ę d 11 i aj ąc powyższe, otrzymuj emy:

I ₍ j" z²dA = | (-y₀ sin a + z₀ cos a)² dA =

(■■0 W

siliła \y^dA - 2sinacosa [ y₀z₀dA + cos² a JZgdA

(0    W    w

| y\dA = JCyo cosa + z₀ sina) dA = cos² a JygdA 0 M

'sina • cosa • jy₀z₀dA + sin² a jzjjdA

+

i u

W

(A)

(A)

h [ _y,z, dA = [(y₀cosa + z₀sina)(-y₀sina + z₀cosa)-ć/,4 =

W    (A)

sinacosa ^ y^dA + cos² a jy₀z₀dA - sin ²a jy₀z₀dA + sinacosa JzfidA.

(A)

(A)

(A)