1.Metody numeryczne (analiza numeryczna)  Dział matematyki stosowanej zajmujący się opracowaniem metod
przybliżonego rozwiązywania skomplikowanych zagadnień matematycznych, których rozwiązanie byłoby nadzwyczaj
żmudne lub niemożliwe choćby poprzez konieczność wykonania nieskończenie wielu operacji.
2.Układ równań zawierający n niewiadomych
a11 x1ƒÄ…a12 x2ƒÄ…...ƒÄ…a1n xn=b1
a21 x1ƒÄ…a22 x2ƒÄ…...ƒÄ…a2n xn=b2
..............
{
an1 x1ƒÄ…an2 x2ƒÄ…...ƒÄ…ann xn=bn
3.Macierzowa reprezentacja układu n niewiadomych
, gdzie:
AÅ"X=B X=Aśą-1źąÅ"B
a11 a12 ... a1n
x1 b1
a21 a22 ... a2n X= x2 B= b2
A=
... ... ... ... ... ...
[ ] [ ] [ ]
an1 an2 ... a xn bn
nn
A  macierz główna układu
X  wektor wyrazów wolnych
B  wektor wyrazów wolnych
Układ równań posiada jedno rozwiązanie tylko wtedy, gdy jest oznaczony, tzn. macierz główna układu równań A nie jest
osobliwa.
4.Układ równań, w którym tylko główna przekątna macierzy A ma elementy niezerowe
a11 x1 =b1
a22 x2 =b2
...
{
a xn=bn
nn
Algorytm:
bi
xi= , aii`"0, i=1,2 , ..., n
aii
5.Trójkątny układ równań
a11 x1ƒÄ…a12 x2ƒÄ…...ƒÄ…a1n xn=b1
a x2ƒÄ…...ƒÄ…a2n x =b2
22 n
..............
{
ann x =bn
n
Algorytm:
n
bi- ais xs
"
bn
s=iƒÄ…1
x = , xi= , i=n-1, n-2, ...,1
n
ann aii
Przy czym:
aii`"0 , i=1,2 ,... , n
6.Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych:
b1 c1
x1 d1
a2 b2 c2
x2 d2
a3 b3 c3
x3 d3
Å" =
.. .. .. ... ...
an -1 bn-1 cn-1 xn-1 d
n-1
[ ]
[ ][ ]
xn dn
an bn
Algorytm:
ai xi-1ƒÄ…bi xiƒÄ…ci xiƒÄ…1=di, i=1,2 , ..., n
a1=0 , cn=0
Wzory:
c1 d1
¸Ä…1=- , Ä…Ä…1= , xn=Ä…Ä…n, xi=¸Ä…iÅ"xiƒÄ…1ƒÄ…Ä…Ä…i
b1 b1
dla : i=n-1, n-1, ...,1
ci di-ai Ä…Ä…i-1
¸Ä…i=- , Ä…Ä…i=
ai ¸Ä…i-1ƒÄ…bi ai ¸Ä…i-1ƒÄ…bi
dla : i=2,3 , ..., n
7.Metoda Cramera (Wyznacznikowa)
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
W =
... ... ... ...
[ ]
an1 an2 ... ann
Algorytm:
[W ]
n
xn= , #"W#"`"0
[W ]
b podstawiamy w kolumnÄ™ odpowiedniÄ… liczonemu x
8.Metoda eliminacji Gaussa: Jest to metoda służąca jedynie do upraszczania układów. Jej celem jest sprowadzenie n
pierwszych kolumn macierzy C do macierzy trójkątnej. Następnie pozostaje już tylko rozwiązanie macierzy trójkątnej.
Macierze A i B zapisujemy to w postaci macierzy C, w której macierz główną uzupełnia się dodatkową kolumną
zawierającą wektor wyrazów wolnych B.
C=
a11 a12 ... a1n b1 c11 c12 ... c1n c1,nƒÄ…1
a21 a22 ... a2n b2 = c21 c22 ... c2n c2,nƒÄ…1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
[ ]
[ ]
an1 an2 ... ann bnn cn1 cn2 ... cnn cn,nƒÄ…1
Kroki
ci1
c11`"0
Jeżeli Odejmujemy pierwsze równanie pomnożone przez od każdego kolejnego i-tego równania, przy
c11
czym: i=2,3,...,n zaś obliczone współczynniki zapisujemy w miejscu poprzednich. Następnie przeprowadzamy
analogiczne operacje aż do uzyskania macierzy trójkątnej. Po n-1 krokach mamy:
c11 c12 c13 ... c1n c1,nƒÄ…1
0 cśą1źą cśą1źą ... cśą1źą cśą1źą
22 23 2n 2,n ƒÄ…1
Cn -1=
0 0 cśą2źą ... cśą2źą cśą2źą
33 3n 3,nƒÄ…1
... ... ... ... ... ...
[ ]
0 0 0 ... cśą n-1źą cśąc-1źą
nn n , nƒÄ…1
Algorytm:
s=1,2, ... , n-1
i=sƒÄ…1, sƒÄ…2,... , n
cśąs-1źą
is
cśąsźą=cśąs-1źą- Å"cśąs-1źą
ij ij sj
{{
cśąs-1źą
ss
j=sƒÄ…1, sƒÄ…2, ..., nƒÄ…1
9.Aproksymacja funkcji jednej zmiennej  Dana jest funkcja jednej zmiennej y=f śąx źą, x "[a, b] Należy dobrać taką
F śąx , p1, ... , pkźą, x "[a, b]
funkcję aby możliwie jak najdokładniej odtworzyć przebieg funkcji f(x), czyli
śąxi, yiźą , i=1,2, ..., n
zminimalizować różnice pomiędzy odpowiednimi wartościami w punktach Gdzie:
p1, ..., pk
To parametry wzoru empirycznego.
p1, ... , pk
Aproksymacja polega na dobraniu parametrów wzoru empirycznego w taki sposób aby pełnione było
kryterium minimalizacji odchyłek.
Rodzaje aproksymacji:
Aproksymacja punktowa  funkcja f(x) jest zadana jako zbiór punktów
f śąx1źą=y1, f śą x2źą=y2,... , f śąxnźą=yn
Aproksymacja integralna - funkcja f(x) jest zadana w formie wzoru analitycznego
ąi=F śąxi, p1, ... , pkźą-yi
10.Odchyłka -
Kryteria minimalizacji odchyłek:
~wybranych punktów
~średnich
~sumowania bezwzględnych wartości
~najmniejszych kwadratów
11.Metoda najmniejszych kwadratów -
n
Dobór współczynników funkcji F ą2=min
"
i
i=1
n
Kryterium najmniejszych kwadratów [Fśą xi , p1 ,... , pkźą-yi]2=min
"
i=1
Zalety:
~kryterium jest mocne, zawiera kwadraty odchyłek, a więc liczby nieujemne
~Prostota obliczeń minimum funkcji pod warunkiem, że rozpatruje się aproksymację w klasie wielomianów
F śąx , p1, ... , pkźą=p1ÔÄ…1śąx źąƒÄ…p2ÔÄ…2śą xźąƒÄ…...ƒÄ…pk ÔÄ…kśą xźą
uogólnionych:
12.Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej -
śąx1, y1źą,śą x2, y2źą, ..., śąxn , ynźą
Dany jest zbiór punktów:
y=p1ƒÄ…p2 x
Funkcja aproksymujÄ…ca:
n
Kryterium najmniejszych kwadratów: Sśą p1, p2źą= [p1ƒÄ…p2 xi-yi]2=min
"
i=1
n
"Sśą p1, p2źą
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych: =2 [p1ƒÄ…p2 xi-yi]=0
"
" p1
i=1
n
"Sśą p1, p2źą
=2 [ p1ƒÄ…p2 xi-yi]Å"xi=0
"
" p2
i=1
Forma 1
n
[p1ƒÄ…p2 xi-yi]=0
"
i=1
n
[p1 xiƒÄ…p2 x2-yi xi]=0
"
i
i=1
Forma 2
n n
p1 nƒÄ…p2 xi= yi
" "
i=1 i =1
n n n
p1 xiƒÄ…p2 x2= yi xi
" " "
i
i=1 i=1 i=1
Forma 3
n
n
n xi
"
yi
"
p1
i=1
Å" = i=1
n n
n
[p2]
xi x2
[ ]
" "
yi xi
i [ ]
"
i=1 i=1
i=1
XÅ"P=Y Ò! P=X-1Å"Y
Przypadek dla trzech punktów aproksymacji
y=p1ƒÄ…p2 xƒÄ…p3 1
x
n
2
Sśą p1, p2 , p3źą= [p1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 1 -yi] =min
"
xi
i=1
n
"Sśą p1, p2 , p3źą
=2 [p1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 1 -yi]=0
"
" p1 xi
i=1
n
"Sśą p1, p2 , p3źą
=2 [p1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 1 -yi]Å"xi=0
"
" p2 xi
i=1
n
"Sśą p1, p2 , p3źą
=2 [ p1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 1 -yi]Å"1 =0
"
" p3 x xi
i=1
n n
n
1
n xi
" "
y1
xi "
i=1 i=1
i=1
p1 n
n n
xi x2 n Å" =
" " p2
xi yi
"
i
i=1 i=1
i=1
[ ]
n n
p3 n
1 1
1
[ ] [ ]
n
" " yi
"
xi
xi
i=1 i=1
xi2
i=1
XÅ"P=YÒ! P=X-1Å"Y
13.Aproksymacja Funkcji dwóch zmiennych -
śąx1,y1, z1źą ,śąx2, y2, z2źą, ... ,śąxn , yn , znźą
Dany jest zbiór punktów
z=Fśąx , y , p1,p2, p3źą=p1ƒÄ…p2 xƒÄ…p3 y
ęą
Aproksymacją tego zbioru punktów ma być funkcja liniowa, np.:
n
Sśą p1, p2, p3źą= śą p1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 yi-ziźą2=min
"
i=1
n
"S
=2 śąp1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 yi-ziźą=0
"
" p1 i=1
n
"S
=2 śąp1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 yi-ziźą xi=0
"
" p1 i=1
n
"S
=2 śąp1ƒÄ…p2 xiƒÄ…p3 yi-ziźą yi=0
"
" p1 i=1
n n n
n xi yi zi
" " "
i=1 i=1 i=1
p1 n
n n n
xi x2 zi xi
" " "x yi Å" p2 = "
i i
i=1 i=1 i=1
[ ]
p3 i=1
n n n n
[ ] [ ]
yi xi yi yi2 zi yi
" " " "
i=1 i=1 i=1 i=1
P=X-1Å"Y
14.Interpolacja  Jej zadaniem jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami oraz
oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości.
y=f śąx źą, x "[x0, x ]
Dana jest funkcja dla której znamy tablicę jej wartości.
n
f śą x0źą=y0 , f śąx1źą=y1, ..., f śą xnźą=y śąx0, y0źą ,śąx1, y1źą, ..., śąxi, yiźą, śąxn , ynźą
oraz n+1 węzłów interpolacji:
n
Wśą x0źą=y0, W śąx1źą=y1, ..., Wśą xnźą=yn
Należy wyznaczyć funkcję W(x) tak aby:
15.Węzeł interpolacji  Jest to jeden z punktów na bazie których została wyznaczona funkcja interpolująca i którego
wartość musi być dokładnie osiągnięta przez funkcję interpolującą.
16.Funkcja interpolująca  jest to taka funkcja, która w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja
y=f(x)
17.Wielomian uogólniony  Metoda doboru funkcji W(x) w postaci kombinacji liniowej n+1 funkcji bazowych
n
ÔÄ…0 śąxźą ,ÔÄ…1śąx źą,..., ÔÄ…n śąx źą
Wśą xźą= aiÔÄ…iśąx źą=´Ä…śąxźąÅ"A
"
i=0
ÔÄ…0śą x0źą ÔÄ…1śą x0źą ...... ÔÄ…n śąx0źą y0
ÔÄ…0śą x1źą ÔÄ…1śą x1źą ...... ÔÄ…n śąx1źą y1
X= Y=
...... ...... ...... ...... ...
[ ] [ ]
ÔÄ…0śąxnźą ÔÄ…1śąxnźą ...... ÔÄ…nśą xnźą yn
I jeżeli macierz X nie jest osobliwa
A=X-1Å"Y
Więc
W śą xźą=´Ä…śąx źąÅ"X-1Å"Y
´Ä…=[ÔÄ…0 śąxźą ,ÔÄ…1śąx źą,... , ÔÄ…n śąx źą]
18.Macierz bazowa -
19.Wektor współczynników - AT=[a0, a1, ... ,a ]
n
20.Interpolacja wielomianowa (wielomian w postaci naturalnej)  FunkcjÄ™ bazowÄ… przyjmuje siÄ™ w postaci
jednomianów:
ÔÄ…0 śąxźą=1, ÔÄ…1śą xźą=x , ÔÄ…2śą xźą=x2, ..., ÔÄ…nśą xźą=xn
Warunkiem jest:
a0ƒÄ…a1 x0ƒÄ…...ƒÄ…an xn=y0
0
a0ƒÄ…a1 x1ƒÄ…...ƒÄ…an xn=y1
1
.....................................
{
a0ƒÄ…a1 xnƒÄ…...ƒÄ…an xn=y
n n
x0 , x1 ,... , xn
Ponadto kolejne wartości muszą się różnić między sobą oraz wyznacznik główny układu musi być różny
od 0
1 x0 .... xn
0
1 x1 .... xn
1
#"X#"=detX= = śąxi-x źą`"0
"
j
.... .... .... .... iÄ… j
[ ]
1 xn .... xn
n
Przykład
Wyznaczyć wielomian w postaci naturalnej dla węzłów: śą0,6źą,śą1,4źą, śą2,12źą Więęęęc:
x0 x1 x2 1 0 0
0 0 0
0 6
x= y=
1 4 X= =
x0 x1 x2 1 1 1
1 1 1
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
2 12
x0 x1 x2 1 2 4
2 2 2
6
A=X-1Å"Y=
Zaś z ciekawości: -7
[ ]
5
W śąsźą=a0ƒÄ…a1 sƒÄ…a2s2=6-7sƒÄ…5s2
21.Macierz Lagrange'a  Macierz dla bazy wielomianowej.
X-1
22.Interpolacja Lagrange'a -
Funkcja bazowa:
ÔÄ…0śąx źą=śą x-x1źąśą x-x2źąśąx-x3źą... śąx-xnźą
ÔÄ…1śąx źą=śą x-x0źąśą x-x2źąśąx-x3źą... śąx-xnźą
.....................................
ÔÄ…i śąxźą=śąx-x0źą ...śąx-xi-1źąśą x-xiƒÄ…1źą ...śąxi-xnźą
.....................................
{
ÔÄ…n śąx źą=śą x-x0źąśąx-x1źąśąx-x2źą... śąx-xn-1źą
Współczynniki:
y0
a0=
ÔÄ…0śąx0źą
ÔÄ…0śąx0źą 0 ...... 0
y1
0 ÔÄ…1śą x1źą ...... 0
a1=
X= ,
ÔÄ…1śąx1źą
...... ...... ...... ......
[ ]
...
0 0 ...... ÔÄ…n śąxnźą
yn
{
a =
n
ÔÄ…nśą xnźą
Toteż
W śą xźą=a0 ÔÄ…0śąx źąƒÄ…a1ÔÄ…1śą xźąƒÄ…...ƒÄ…an ÔÄ…nśą xźą
n
śąx-x0źą ...śąx-xi-1źąśą x-xiƒÄ…1źą ...śąx-xnźą
W śą xźą= yi
"
śąxi-x0źą...śąxi-xi-1źąśą xi-xiƒÄ…1źą...śąxi-xnźą
i=0
Lub można się wycwanić:
"śąx-x źą
n j
j`"i
W śą xźą= , j=0,1 ,... , n
"
śą xi-x źą
i=0
"
j
j`"i
Dla mathcada:
n-1 n-1
s-x
j
W śąsźą= if śą j=i,1 , źą
""
xi-x
i=0 j=0
j
Przykład Zinterpoluj wielomian Lagrange'a dla węzłów śą0,4źą,śą1,2źą, śą2.5 ,2.75źą
śąs-1źąśąs-2.5źą śąs-0źąśąs-2.5źą śąs-0źąśąs-1źą
W śąsźą=4 ƒÄ…2 ƒÄ… ƒÄ…2.75
śą0-1źąśą0-2.5źą śą1-0źąśą1-2.5źą śą 2.5-0źąśą2.5-1źą
W śąsźą=s2-3sƒÄ…4
n !
n
=
23.Symbol Newtona  Funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych o postaci czytana
śą źą
k !śą n-k źą!
k
jako n po k
h=xiƒÄ…1-xi
24.Różnice skończone Dla funkcji stabelaryzowanych przy stałym kroku wprowadza się pojęcie różnicy
skończonej rzędu k
­Ä… yi=yiƒÄ…1-yi
­Ä…2 yi=­Ä…[­Ä… yi]=­Ä… yi ƒÄ…1-­Ä…yi=yiƒÄ…2-2yiƒÄ…1ƒÄ…yi
.....................
­Ä…k yi=­Ä…[­Ä…k-1 yi]=­Ä…k -1 yiƒÄ…1-­Ä…k -1 yi=
k
j
=
"śą-1źą k yiƒÄ…
k- j
śą źą
j
j=0
yi=f śąxiźą xiƒÄ…1-xi=h=const
Na podstawie wzoru wartości funkcji budujemy tablicę różnic skończonych o
strukturze podobnej do trójkąta Pascala
nr x y ­Ä…y
­Ä…2 y ­Ä…3 y
0 x0 y0 ­Ä…y0
­Ä…2 y0 ­Ä…3 y0
1 x1 y1 ­Ä…y1 ...
­Ä…2 y1
2 x2 y2 ­Ä…y2 ... ...
3 x3 y3 ... ... ...
... ... ... ... ...
­Ä…3 y
n-3
... ... ... ...
­Ä…2 yn-2
... ... ... ­Ä…y
n-1
n xn yn
Przykład:
Dla podanych więzów zbudować tablicę różnic skończonych
śą0.2 ,0.259źą,śą0.4 ,0 .364źą,śą0.6 ,0 .448źą,śą0.8 ,0 .517źą, śą1,0.577źą ,śą1.2,0 .631źą
nr x y ­Ä…y
­Ä…2 y ­Ä…3 y
­Ä…4 y ­Ä…5 y
0 0.2 0.259 0.105 -0.021 0.006 0 -0.003
1 0.4 0.364 0.084 -0.015 0.006 -0.003
2 0.6 0.448 0.069 -0.009 0.003
3 0.8 0.517 0.06 -0.006
4 1 0.577 0.054
5 1.2 0.631
25.Własności różnic skończonych -
y=C Ò!­Ä… y=0
y=CÅ"f śąx źąÒ!CÅ"­Ä…f śąxźą
y f śąx źąÒ!­Ä… y=C ­Ä…f śą xźą
"
k k
k
y=xn Ò! ­Ä…y=śąxƒÄ…hźąn-xn=nhxn-1ƒÄ…...ƒÄ…hn
y=a0ƒÄ…a1 xƒÄ…...ƒÄ…an xn Ò! ­Ä…y=b0ƒÄ…b1 xƒÄ…...ƒÄ…bn-1 xn-1
Jeżeli wielomian jest stopnia n, to różnica skończona rzędu n ten funkcji jest stała, a kolejne zerami. Prawdziwe jest
również twierdzenie odwrotne.
26.Interpolacja argumentów równoodległych w przód Dla zbioru n+1 więzów
x0 , x1=x0ƒÄ…h , x2=x0ƒÄ…2h ,... , xn=x0ƒÄ…nh f śą x0źą=y0 , f śąx1źą=y1, ..., f śą xnźą=y
oraz wartości funkcji
n
Mamy Wielomian interopolacyjny :
W śą xźą=a0ƒÄ…a1 q śąx źąƒÄ…a2 q śąx źąśąq śąxźą-1źąƒÄ…
ƒÄ…a3q śą xźąśąq śąx źą-1źąśą q śąxźą-2źąƒÄ…...
ƒÄ…an q śąx źąśąq śąxźą-1źąśąq śą xźą-2źą ...śąq śąx źą-nƒÄ…1źą
q śąx0źą=0
x-x0
q śą x1źą=1
Przy czym:
q śą xźą=
...
h
q śą xnźą=n
Funkcje bazowe:
ÔÄ…0śąx źą=1
ÔÄ…1śąxźą=q śą xźą
ÔÄ…2śą xźą=q śąxźąśąq śą xźą-1źą
ÔÄ…3śą xźą=q śą xźąśąq śą xźą-1źąśąq śą xźą-2źą
......
ÔÄ…nśą xźą=q śą xźąśąq śą xźą-1źąśąq śąx źą-2źą... śąq śąx źą-nƒÄ…1źą
UkÅ‚ad równaÅ„ do wyznaczenia współczynników: XÅ"A=Y
1 0 0 0 ... 0
1 1 0 0 ... 0
1 2 2 0 ... 0
X=
1 3 6 6 ... 0
... ... ... ... ... ...
[ ]
1 n n śąn-1źą n śą n-1źąśą n-2źą ... n !
a0 y0
a1 Y= y1
A=
A=X-1Å"Y
... ...
[ ] [ ]
an yn
a0=y0
a1=­Ä… y0 Ô! y1=a0ƒÄ…a1
­Ä…2 y0
a2= Ô! y2=a0ƒÄ…2a1ƒÄ…2a2
2!
­Ä…3 y0
a3= Ô! y3=a0ƒÄ…3a1ƒÄ…6a2ƒÄ…6a3
3!
....
­Ä…n y0
an= Ô! yn=a0ƒÄ…na1ƒÄ…n śąn-1źą a2ƒÄ…...ƒÄ…n !a
n
n !
27.Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona  interpolacja wprzód
q śą q-1źą
W śą xźą=y0ƒÄ…q ­Ä…y0ƒÄ… ­Ä…2 y0ƒÄ…...ƒÄ…
2 !
q śą q-1źąśą q-2źą... śąq-nƒÄ…1źą
ƒÄ… ­Ä…n y0
n !
n n
­Ä…i y0 i
W śą xźą= aiÅ"ÔÄ…i śąxźą= Å" if śą j=0,1, q- jƒÄ…1źą
" " "
i !
i=0 i =0 j=0
x0=0.4
Przykład1: Znajdz
wielomian interpolacyjny z dokładnością dla i wylicz jego wartość w punkcie
­Ä…3
x=0.5
x-x0 x-0.4
q= = =5x-2
h 0.2
­Ä…2 y0
W śą xźą=y0ƒÄ…q ­Ä…y0ƒÄ…q śą q-1źą ƒÄ…
2!
­Ä…3 y0
ƒÄ…q śąq-1źąśąq-2źą
3!
W śą xźą=0.125 x3-0.0375 x2ƒÄ…0.9175xƒÄ…0.038
W śą 0.5źą=0.418625
28.Interpolacja argumentów równoodległych w tył - Dla zbioru n+1 więzów
x0 , x1=x0-h , x2=x0-2h ,... , xn=x0-nh f śąx0źą=y0 , f śąx1źą=y1,... , f śąxnźą=yn
oraz wartości funkcji
Wśą xźą=a0ƒÄ…a1q śą xźąƒÄ…a q śą xźąśąq śą xźąƒÄ…1źąƒÄ…
2
ƒÄ…a3q śą xźąśąq śą xźąƒÄ…1źąśąq śąx źąƒÄ…2źąƒÄ…...
Mamy Wielomian interopolacyjny :
ƒÄ…an q śąx źąśąq śąx źąƒÄ…1źąśą q śąxźąƒÄ…2źą...śąq śąxźąƒÄ…n-1źą
q śą x0źą=-n
q śąx1źą=-nƒÄ…1
x-xn
q śą xźą= q śą x2źą=-nƒÄ…2
h
...
q śą xnźą=0
Funkcje bazowe -
ÔÄ…0śąx źą=1
ÔÄ…1śą xźą=q śą xźą
ÔÄ…2śą xźą=q śą xźąśąq śą xźąƒÄ…1źą
ÔÄ…3śą xźą=q śą xźąśąq śą xźąƒÄ…1źąśąq śą xźąƒÄ…2źą
......
ÔÄ…nśą xźą=q śą xźąśąq śą xźąƒÄ…1źąśąq śąx źąƒÄ…2źą... śąq śąx źąƒÄ…n-1źą
Układ równań do wyznaczenia współczynników:
X=
1 -n -nśą1-nźą -n śą1-nźąśą2-nźą ... n !Å"śą-1źąn
... ... ... ... ... ...
1 -3 6 -6 ... 0
1 -2 2 0 ... 0
1 -1 0 0 ... 0
[ ]
1 0 0 0 ... 0
a0 y0
a1 Y= y1
A=
A=X-1Å"Y
... ...
[ ] [ ]
an yn
a0=yn
a1=­Ä… yn -1 Ô! yn -1=a0ƒÄ…a1
­Ä…2 yn-2
a2= Ô! yn -2=a0ƒÄ…2a1ƒÄ…2a2
2 !
­Ä…3 yn -3
a3= Ô! yn-3=a0ƒÄ…3a1ƒÄ…6a2ƒÄ…6a3
3!
....
­Ä…n y0
an= Ô! y0=a0ƒÄ…na1ƒÄ…n śąn-1źą a2ƒÄ…...ƒÄ…n !an
n !
29.Drugi wzór interpolacyjny Newtona  interpolacja wstecz
q śą qƒÄ…1źą
W śą xźą=ynƒÄ…q ­Ä… yn -1ƒÄ… ­Ä…2 yn -2ƒÄ…...ƒÄ…
2 !
q śąq ƒÄ…1źąśąq ƒÄ…2źą...śą qƒÄ…n-1źą
ƒÄ… ­Ä…n y0
n !
n
W śąxźą= aiÅ"ÔÄ…i śąxźą
"
i =0
n
­Ä…i yn-i i
W śą xźą= Å" if śą j=0,1 , qƒÄ… j-1źą
" "
i!
i=0 j=0
x=1.1 , xn=1.2
Przykład: Oblicz wartość w punkcie pośrednim tabeli dla
x-xn 1.1-1.2
q= = =-0.5
h 0.2
q śąqƒÄ…1źą­Ä…2 yn -2
W śą xźą=ynƒÄ…q ­Ä… yn-1ƒÄ…
2 !
-0.5Å"śą0.5źąÅ"śą-0.006źą
W śą1.1źą=0.631-0.5Å"0.054ƒÄ…
2
W śą1.1źą=0.60475
30.Interpolacja Czebyszewa -
Współrzędną x "< a , b > normalizujemy do c"<-1,1 > za pomocą wzoru:
aƒÄ…b b-aÅ"c Ò! c= 2x-a-b
x= ƒÄ…
2 2 b-a
Analogicznie postępujemy ze współrzędną y normalizując ją do h .
T0 śącźą=1, T1śącźą=c , T śącźą=2cÅ"Tj-2śą cźą-Tj-1śącźą
Następnie tworzymy bazę Czebyszewa z zależności:
j
j j
ćą
lub:
Tjśąc źą=śącƒÄ… c2-1źą ƒÄ…śąc-ćąc2-1źą
2
Tjśąc źą=cosśą jÅ"arccosśącźąźą
albo jeszcze fajniej:
Na podstawie tego tworzymy układ równań o postaci T*A=H
T0śąc0źą T1śą c0źą .... Tnśąc0źą A0 h0
T0śąc1źą T1śąc1źą .... Tnśąc1źą A1 = h1
Å"
.... .... .... .... .... ....
[ ][ ] [ ]
T0 śącnźą T1śącnźą .... Tn śącnźą An hn
n
Znormalizowany wielomian interpolujÄ…cy przybierze postać: Wśą cźą= AjÅ"Tjśąc źą
"
j=0
Aby otrzymać rzeczywistą funkcję należy przebudować wielomian W(c) do postaci W(x).
W tym celu modyfikujemy układ równań
T0śąc0źą T1śą c0źą .... Tnśąc0źą B0 y0
T0śąc1źą T1śąc1źą .... Tnśąc1źą B1 = y1
Å"
.... .... .... .... .... ....
[ ][ ] [ ]
T0 śącnźą T1śącnźą .... Tn śącnźą Bn yn
Zaś zaś za c podstawiamy wartość wyrażoną w x
Ostatecznie:
n
2x-a-b
W śą xźą= BiÅ"T śą źą
"
j
b-a
j=0
śą2jƒÄ…1źąĆą
Ponadto poprzez przyjęcie węzłów z zależności: x =cos , j=0,1 ,... , n oraz modyfikację pierwszego
j
2nƒÄ…2
1 2
T0 śącźą= A śąBźą= TTÅ"H śą Yźą
punktu bazy upraszcza siÄ™ wyznaczanie macierzy A i B.
nƒÄ…1
2
ćą
Własność tą wykorzystujemy wpierw określając znormalizowane punkty, następnie przeliczając je na odpowiadające
im współrzędne w przyjętym przedziale, by ostatecznie zmierzyć w nich wartości funkcji.
31.Interpolacja trygonometryczna  Rozważmy funkcjÄ™ o okresie 2 Ćą dla której znamy wartoÅ›ci w 2nƒÄ…1 wÄ™zÅ‚ach
x "< 0,2 Ćą >
j
2jĆą
x = , j=0,1 ,... ,2 n
Węzły te określamy z zależności:
j
2nƒÄ…1
Rozpatrywana funkcja przybierze taką postać:
A0
W śą xźą= ƒÄ…A1sin1xƒÄ…A2 cos1xƒÄ…...
2
ćą
ƒÄ…A2n-1 sinśą nxźąƒÄ…A2n cosśąnx źą
lub krócej:
n
A0 n
W śą xźą= ƒÄ… A2jÅ"cosśą jÅ"xźąƒÄ… A2j-1Å"sinśą jÅ"xźą
" "
2
ćą
j=1 j=1
Współczynniki A wyznaczymy z układu: T*A=Y, gdzie:
1
0 1 ... 0 1
2
ćą
1
sin x1 cos x1 ... sinśąnÅ"x1źą cosśąnÅ"x1źą
2
ćą
T=
1
sin x cos x2 ... sin śąnÅ"x2źą cosśąnÅ"x2źą
2
2
ćą
... ... ... ... ... ...
[ ]
1
sin x2n cosx2n ... sin śąnÅ"x2nźą cosśąnÅ"x2nźą
2
ćą
Lub prościej z trzech równań:
1
T0śąx źą=
2
ćą
jƒÄ…1Å"x dla j=1,3, ...,2 n-1
Tjśą xźą=sin
śą źą
2
jÅ"x dla j=2,4 , ...,2 n
Tjśąx źą=cos
śą źą
2
A0 y0
A1 Y= y1
A=
... ...
[ ] [ ]
A2n y2n
Przy czym należy pamiętać, że również:
2
A= TTÅ"Y
2nƒÄ…1
32.Kwadratury interpolacyjne  Mamy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale . Przedział ten dzielimy na
skończoną liczbę pod-przedziałów, wyróżniając na osi x zbiór punktów o stałym kroku
b-a
h=xiƒÄ…1-xi= =const
który przybierze postać siatki:
n
a=x0"Ä…x1"Ä…x2"Ä…..."Ä…xi"Ä…xiƒÄ…1"Ä…..."Ä…x =b
i=0,1,...,n
n
Wynika z tego, że:
x =b xiƒÄ… 1
n
n -1 n -1
f śąxźą dx= f śąx źądx= ÈÄ…i
+" " +" "
i=0 i=0
x0=a xi
Zaś po przybliżeniu wielomianem interpolacyjnym W(x) (np. Newtona 1)
xiƒÄ…1 xiƒÄ…1
ÈÄ…i= f śąx źądxH" W śą xźą dx
+" +"
xi xi
33.Całkowanie metodą prostokątów  Bardzo przyjemne i relaksujące dopóki nie trzeba go robić ręcznie. Przyjmijmy, że
n o wartościach poniżej 1000 dla nas nie istnieje.
W śą xźą=yi, x"< xi, xiƒÄ…1>
xi ƒÄ…1
1
ÈÄ…i= yidx=h yi dq=hÅ"yi
+" +"
xi 0
b
n-1
Z 'niedomiarem' f śąxźą dx=h yi=w
+" "
i=0
a
b
n
Z 'nadmiarem' f śą xźą dx=h yi=W
+" "
i=1
a
Punkty przygotowujemy tak:
xi=aƒÄ…hÅ"i yi=f śąxiźą
WƒÄ…w
Interesujące wyniki można uzyskać poprzez wyliczenie średniej Bardzo interesujące.
2
Wśą xźą=yiƒÄ…qÅ"­Ä… yi, x"< xi, xiƒÄ…1>
34.Całkowanie metodą trapezów -
xi ƒÄ…1 xi ƒÄ…1
1
ÈÄ…i= Wśąxźą dx= yiƒÄ…qÅ"­Ä… yi dx= h śąyiƒÄ…yiƒÄ…1źą
+" +"
2
xi x
i
Z 'niedomiarem'
b
n -1
yiƒÄ…yiƒÄ…1
f śąx źądx=h =
+" "
2
i=0
a
n-1
y0ƒÄ…yn n y0ƒÄ…yn
=h yiƒÄ… =h yi-
" "
[ ] [ ]
2 2
i=1 i=0
b
n
yiƒÄ…yi-1
Z 'nadmiarem' f śą xźą dx=h
+" "
2
i=1
a
Tym razem wyliczanie średniej nie da już tak spektakularnych efektów, nie mamy nawet pewności czy rzeczywiście
jedna z funkcji będzie miała wartość mniejszą od rzeczywistej, a druga większą. Nie róbmy więc tego. Liczymy
pierwszym wzorkiem.
35.Kwadratury Gaussa  mamy funkcję f(x) rozpatrywaną i ciągłą w przedziale .
Postać całki tej funkcji po danym obszarze normalizujemy
b 1
f śą xźą dx Ò! F śąÄąźąd ÄÄ… ,gdzie:
+" +"
a -1
aƒÄ…b b-a 2x-a-b
x= ƒÄ… ÄÄ… Ò! ÄÄ…=
2 2 b-a
b-a 2dx
dx= d ÄÄ… Ò! d ÄÄ…=
2 b-a
1 1
b-a aƒÄ…b b-a
FśąÄąźąd ÄÄ…= f ƒÄ… ÄÄ… d ÄÄ…
+" +"
śą źą
2 2 2
-1 -1
b-aÅ"f aƒÄ…b b-a
F śąÄąźą= ƒÄ… ÄÄ…
śą źą
2 2 2
Następnie tą znormalizowaną postać przybliżamy wielomianem:
F śąÄąźą=a0ƒÄ…a1ÄÄ…ƒÄ…a2ÄÄ…2ƒÄ…...ƒÄ…a2n-1ÄÄ…2n-1
1
n
FśąÄąźąd ÄÄ…H" F śąÄÄ…iźą wi ,gdzie:
+" "
i=1
-1
ÄÄ…"<-1,1 > odciÄ™te punktów Gaussa
wi współczynniki wagowe
n ilość punktów Gaussa
n ÄÄ…i wi
2 -0.57735 1
0.57735 1
3 -0.7746 0.(5)
0 0.(8)
0.7746 0.(5)
36. Całka podwójna po trójkącie (Kubatury Gaussa)  Dana jest funkcja dwóch zmiennych f(x,y) ciągła i ograniczona w
obszarze trójkątnym D wyznaczonym przez nieleżące na jednej prostej wierzchołki trójkąta D:
śąx1, y1źą ; śąx2, y2źą; śąx3, y3źą
,"f śąx , yźą dxdy
Celem jest policzenie wyrażenia
D
Normalizujemy w tym celu całkę sprowadzając trójkąt D do trójkąta jednostkowego prostokątnego o wierzchołkach
śąx1, y1źąŚąśą0,0źą
śąx2, y2źąŚąśą1,0źą
przez podstawienie
śąx3, y3źąŚąśą0,1źą
x=x1ƒÄ…śąx2-x1źąÅ"ÄÄ…ƒÄ…śąx3-x1źąÅ"½Ä…
y=y1ƒÄ…śą y2-y1źąÅ"ÄÄ…ƒÄ…śą y3-y1źąÅ"½Ä…
Wraz ze zmianą okładu współrzędnych należy funkcję podcałkową wymnożyć przez jakobian przekształcenia
dx dx
x2-x1 x3-x1
d ÄÄ… d ½Ä…
J= = Śą#"J#"=2Å" gdzie:
#"D#"
dy dy
#"y2-y1 y3-y1#"
#" #"
d ÄÄ… d ½Ä…
|D| - pole wyjściowego trójkąta D
Postać funkcji podcałkowej
F śąÄÄ…,½Ä…źą=#"J#" [x1ƒÄ…śą x2-x1źąÄÄ…ƒÄ…śąx3-x1źą½Ä… ,
Å"f
y1ƒÄ…śą y2-y1źą ÄÄ…ƒÄ…śą y3-y1źą½Ä… ]
Postać końcowa
1 1-ÄÄ…
n
1
ÄÄ… FśąÄÄ…, ½Ä…źąd ½Ä…H" FśąÄÄ…i, ½Ä…iźą wi
+" +" "
2
i=1
0 0
ÄÄ…i, ½Ä…i - współrzÄ™dne punktów Gaussa
wi - wagi punktów Gaussa
n - liczba punktów Gaussa
Wartości te odczytujemy z tablic:
n ÄÄ…i ½Ä…i wi
1 - liniowa 1/3 1/3 1
3 - kwadratowa 0.5 0.5 1/3
0 0.5 1/3
0.5 0 1/3
37.Przybliżone metody rozwiązywania równań  Polegają na tworzeniu wzorów rekurencyjnych określających sposób
wyznaczenia kolejnych wyrazów ciągu liczbowego, którego granicą jest szukane rozwiązanie równania F(x)=0.
Podstawowe problemy:
~Lokalizacja pierwiastka (dobór punktu startowego)
~Obliczanie przybliżeń pierwiastków
~Zbieżność procesu iteracyjnego
Popularne metody:
~Bisekcji
~Cięciw
~Stycznych
38.Twierdzenia o lokalizacji pierwiastków:
Pierwsze - Bolzano-Cauchy'ego  Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale i na jego końcach przyjmuje wartości
różnych znaków tzn. F śąaźąÅ"Fśą bźą"Ä…0 , to miÄ™dzy punktami a i b znajduje siÄ™ co najmniej jeden pierwiastek równania
F(x)=0.
Drugie  Jeżeli w przedziale spełnione są założenia twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego i dodatkowo pierwsza
pochodna F(x) jest stałego znaku w tym przedziale (funkcja stale rosnąca lub malejąca) to przedział ten jest
przedziałem izolacji pierwiastków równania F(x)=0, co znaczy, że w tym przedziale jest tylko jeden pierwiastek.
Trzecie  Jeżeli F śąxźą=an xnƒÄ…an-1xn -1ƒÄ…...ƒÄ…a1xƒÄ…a0, an`"0 to pierwiastki równania F(x)=0 sÄ… zawarte w
M
#"x#""Ä…1ƒÄ…
M=max {#"a0#", #"a1#",... , #"a #"}
przedziale , gdzie
n-1
#"an#"
39.Metoda bisekcji  Niech będzie przedziałem izolacji pierwiastków równania F(x)=0. Jako dwa pierwsze wyrazy
x1=a, x2=b
ciągu przybliżeń przyjmujemy:
Kolejne przybliżenia przyjmujemy według wzoru:
xi -1ƒÄ…xk
xi= , k"< 1,śąi-2źąą, ią2
2
#"xi-xi-1#"H"#"xi-xk#", Fśąxi-1źąÅ"Fśą xkźą"Ä…0
Metoda jest zbieżna, gdyż przybliżenia znajdują się każdorazowo w przedziałach izolacji.
#"xiƒÄ…1-xi#""Ä…#"xi-xi-1#"
Zaletą jest prostota, wadą wolna zbieżność procesu iteracyjnego.
40.Metoda cięciw  Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją klasy w przedziale izolacji pierwiastka, to rozwiązanie równania
C2
F(x)=0 przybliżamy ciągiem miejsc zerowych cięciw poprowadzonych między punktami stanowiącymi końce kolejnych
przedziałów izolacji.
Równanie Cięciw
y-F śąxi-1źą x-xi-1
= , gdzie
Fśą xkźą-Fśą xi-1źą xk-xi-1
xk jest drugim krańcem przedziału izolacji "ąxi-1, xką
Pierwszą cięciwę prowadzimy między punktami:
śąa, F śąaźąźą, śą b , Fśą bźąźą
Dla y=0
xk-xi-1
xi=xi-1-F śąxi-1źąÅ"
F śąxkźą-Fśąxi-1źą
Punkt kontrolny
aƒÄ…b
z=
będziemy go używać do sprawdzani wartości
2
Określanie stałego punktu pęku cięciw
x ""Ä…a, bÄ…, F 'śą xźąÅ"F ' 'śą xźąą0 Śą xk=x2=b
x ""Ä…a , bÄ…, F 'śą xźąÅ"F ' 'śąx źą"Ä…0 Śąxk=x1=a
Metoda ta jest zawsze zbieżna i to szybciej niż bisekcji.
41.Metoda stycznych Newtona  Przybliżamy F(x)=0 w przedziale izolacji wyrazami ciągu utworzonego przez
miejsca zerowe stycznych do funkcji F(x).
xi-1
Równanie stycznej w punkcie o odcietej
y-f śąxi-1źą=F 'śąxi-1źąÅ"śą x-xi-1źą
Dla y=0
F śąxi-1źą
xi=xi-1- , iÄ…1
F 'śąxi-1źą
x1
Wybór pierwszego przybliżenia
x ""Ä…a, bÄ…, F' śąxźąÅ"F '' śąxźąą0Śą x1=b
x""Ä…a , bÄ…, F 'śąx źąÅ"F ' 'śąx źą"Ä…0 Śąx1=a
Jeżeli druga pochodna nie ma stałego znaku to proces iteracyjny może być rozbieżny.
42.Równania różniczkowe zwyczajne  przybliżone rozwiązywanie
Sposoby rozwiÄ…zywania
Szeregi -
~współczynników nieoznaczonych
~kolejnego różniczkowania (metoda jednego punktu)
~kolejnych przybliżeń Picarda
Dyskretne  Rozpatrujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego wraz z warunkiem początkowym
y '=Fśą x , yźą , y śąx0źą=y0 Zakładamy, że F(x,y) jest ciągła oraz ograniczona w pewnym obszarze płaskim śą , w
którym spełnia warunek Cauchy'ego-Lipschitza względem y, tzn. istnieje taka liczba K, że dla wszystkich par punktów
P1śą x , y2źą , P2śąx , y2źą, P1, P2"śą #"Fśąx , y1źą-Fśą x , y2źą#""ąK śąy1-y2źą
spełniona jest nierówność
~Å‚amanych Eulera
~ulepszenia metody Eulera
~wzory Rungego-Kutty
~metody wielokrokowe
43.Metoda łamanych Eulera  Polega na przybliżonym rozwiązaniu równania
x
iƒÄ…1
y śąxiƒÄ…1źą=yiƒÄ…1=yiƒÄ… F[x , y śąxźą]dx
+"
x
i
[xi, xiƒÄ…1] śąxi, yiźą
Funkcję F(x,y) traktujemy na odcinku jako stałą i równą wartości F w punkcie
xi ƒÄ…1
F[x , y śąxźą]dx=hi F śąxi, yiźą, hi=xiƒÄ…1-xi
+"
x
i
Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny w postaci:
yiƒÄ…1=yiƒÄ…hi Fśą xi, yiźą, hi=xiƒÄ…1-xi , i=1,2, ... , n
Pochodna y' została zastąpiona ilorazem różnicowym.
yiƒÄ…1-yi
[xi, xiƒÄ…1]
czyli krzywą całkową na odcinku aproksymuje się odcinkiem stycznej do niej,
hi
śąxi, yiźą hi=const=h
przechodzÄ…cej przez punkt zwykle przyjmujemy
Aśąxi , yiźą , BśąxiƒÄ…1, yiƒÄ…1źą
44.Pierwsze ulepszenie metody łamanych  Styczna do łuku w punkcie o odciętej
x*=śą xiƒÄ…xiƒÄ…1źą/2 jest równolegÅ‚a do ciÄ™ciwy AB.
Wzory:
1
x*= śąxiƒÄ…xiƒÄ…1źą
2
y*=yiƒÄ…0.5Å"hÅ"F śąxi, yiźą
m*=Fśą x*, y*źą
x*=xiƒÄ…1=xiƒÄ…h
yiƒÄ…1=yiƒÄ…hÅ"m*
y*=yiƒÄ…hÅ"Fśą xi , yiźą
45.Drugie ulepszenie metody łamanych Eulera-Cauchy'ego  Współczynnik
kierunkowy siecznej AB jest średnią arytmetyczną współczynników
m*=Fśą x*, y*źą
kierunkowych stycznych w punktach A i B.
yiƒÄ…1=yiƒÄ…0.5Å"h [F śąxi, yiźąƒÄ…m*]
Wzory: