DSCN1105 (2)

Jeśli k[n, ten. r > O, to

izi _{= p +} Lęi, gdzie 0 < ~r~ < f>, “y'' k    k    *

Jeśli k|n, ten. r = 0, to

- n _ l +    , skąd otrzymujemy

k

Bi

1.31. Wskazówka. Przekształcając dane równanie otrzymujemy:

)wka. Przekształcają!

SH⁸rflWflH

a teraz już łatwo sprawdzić, że tylko liczby 4 i 5 spełniają powyższe równanie.

§ 2. Rozwiązania i odpowiedzi

2.1. Wskazówka. Korzystając z podanych warunków zadania mamy np.:

/(2-0) = 2fl0)-l /(2 + 0) = 4 +/(0), stąd otrzymujemy /(0)=l,/(2) = 5.

Analogicznie rozumując stwierdzamy, że /(-1)=-1,/(1) = 3.

Uzyskane wyniki sugerują, że wzór szukanej funkcji ma postać: f(x) = 2x + 1,

a jak łatwo sprawdzić, funkcja określona tym wzorem spełnia podane warunki.

2.2. Biorąc w równaniu a tm — 1, b = 0 otrzymujemy /(-l)=/(0)+/(-l)-l czyli /(O) - 1.

Dla a = 1, b = — 1 otrzymujemy /(O) =/(l) +/(—1) — 2 — 1 czyli /(l) = 4.

Udowodnimy teraz, że jeśli funkcja/ jest określona w punkcie a, to jest również jednoznacznie określona w punktach a — 1 ia + 1. Rzeczywiście

f(a + 1) =/(a) +/(1) + 2a - 1 =/(a) + 2a + 3 /(a - 1) =/(a) +/(-1) - 2a - 1 =/(a) - 2a - 1.

Zatem na podstawie indukcji matematycznej istnieje tylko jedna taka funkcja, która spełnia warunki zadania

Za pomocą powyższych wzorów możemy ułożyć tabelkę

X	0	-i	1	-2	2	-3	3	-4	4
/w	i	0	4	1	9	4	16	9	25

Na tej podstawie można przypuszczać, że

/(*) = (*+ l)².

Rzeczywiście jest to szukana funkcja, bo

(a + b + l)² = (a + l)² + (f> + l)² + Tob - 1 i (-1 + l)² = 0

2.3. m-m =/(0), czyli [/-(O)]² =/(0), stąd /(O) = 0 lub /(0) = 1.

Gdyby /(O) = 0, to dla każdego xeR zachodziłaby równość f(x - x) =/(x) f(x), czyli m = UW]², skąd f(x) — 0, wbrew podanemu w treści zadania warunkowi Zatem /(O) = 1. Stąd zaś wynika, że /²M=/(0)=1.

Zatem f(x) = 1 lub f(x) = -1 dla każdego xeR.

Funkcja /jest parzysta, bowiem f(~x) =/(0 - *) =/(0)/(*) =/(x).

67