DSCN1128 (2)

Zatem jeśli podstawimy (3 — 2^/5)* = t, to (3 +    = i i r > 0.

Po tym podstawieniu i po przekształceniu dane równanie przyjmuje postać

1) (m + 2)f² - (3m + 2)f -f (2/n - 1) = 0 Równanie 1) ma rozwiązanie dla każdego m e R, bo A — m² + 12. Przy czym:

m

gdy me(—oo; są dodatnie; gdy me

znaki;    ^

gdy m = to t = 0 lub t = -.

Stąd wynika następująca odpowiedź: dane równanie ma dwa

to oba pierwiastki równania 1)

to pierwiastki równania 1) mają różne

(H

różne pierwiastki, gdy me(—oo; —2) u (oo J; ma jeden pierwiastek, gdy me(- 2; ->.

4.35.    ^2 ~ "* ^dla yfi* •fil

4.36.    Dlaae<-|;i>.

4.37.    Dla_Pe<-^;^>.

4.38.    Dana nierówność jest równoważna nierówności

-4x + 1 fl >-2-rST*

x² + 3

a) Rozważmy funkcję/* A->R określoną wzorem —4x + 1

f(x) = —5—gdzie A. — (0; + oo). Wówczas x + 3

czyli dla

/'(x) > O dla xe

xe(2; oo).

f(x) < O dla xe(0;2).

Znaczy to, że funkcja / rośnie w przedziale (2; oo) i maleje w przedziale (0; 2), więc dla x = 2 osiąga minimum. Przy czym

/(2) = — 1, lim/(x) =    lim/(x) = 0. Ponieważ / jest funkcją

x-»0*    3 x-*co

ciągłą, więc zbiorem wartości / jest przedział < — 1; -).

Zatem jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału (    oo),

,,    — 4x 1

x² + 3

fm ⁼

4x² — 2x — 12    ⁴⁽*-^2)(ji+2⁾

(x² + 3)²

(x² + 3)³

[to nierówność a > —*—— spełnia każda liczba rzeczywista

dodatnia.

Stąd odpowiedź oo).

b) Wskazówka. Wystarczy rozważyć funkcję/' B-*R okreś-—4x + 1    .

loną wzorem flx) = —=——, gdzie B = (—oo; 0). x^z + 3

Wtedy uzyskamy odpowiedź: ae(-; oo).

4.39.    1) ae(6; oo); 2) ae^—oo;-J; 3) ae</).

4.40.    Nierówność x² — 6kx + 5fc² + 8k — 4 > 0 jest równoważna nierówności [x — (k + 2)] • [x — (5 k — 2)] > 0.

Stąd zaś wynika, że zbiorem rozwiązań rozpatrywanej nierówności jest zbiór

f (—oo; k + 2)u(5k — 2; oo) dla k > 1, ć    R\{3} dla k = 1,

I (—oo; 5k — 2)u(k + 2; oo) dla k < 1.

I — Zbiór zadań. 113