DSCN1158 (3)

Wówczas:

(|MB| | Hp 111 y,

<|MC| = a — x + y (|LM| | x.

Ponieważ A MIC y AABC, więc \MC\ \LM\ \LC\

. \BC\ ~ \AB\ ~ \AC\' czyli

fa-(x + y) x

Stąd po przekształceniach otrzymujemy

ac    ab

X —    , V —-

a + b + c a + b + c

inaczej

x _ c y _ b a a + b + c' a a + b + c’ a to już wyjaśnia sposób konstrukcji.

6.26. Załóżmy, że skonstruowaliśmy punkt D i że T jest wspólnym punktem styczności. Niech x oznacza odległość wierzchołka A od każdego z punktów styczności okręgu wpisanego w AADC z bokami AC i AD.

Wtedy to

( \AD\ = x + |DT|

{ \AC\ = x + \CT\

( \CD\ = |CT1 + |D71, skąd

MC| + \CD\-\AD\ = 2|C71, więc

_mmJĄC\ + \CD\-\AD\

Niech y oznacza odległość wierzchołka B od punktów styczności okręgu wpisanego w ABDC z bokami BD i BC.

Wówczas

iii=i 1 i^Ti

||BC| = y + |CT|

[|CZ>| = \CT\ + \DT\.

Skąd

|BC| + \CD\ - |BD| = 2|CT|, więc

(2) \_CT\J^B-^c}±^-m. |

Porównując (1) i (2) i uwzględniając równość \AD\ + |BD| = |AB| otrzymujemy:

\AB\ + \BC\-\AC\

\m>\ = —---——Z _!t

Ponieważ |AB| + |BC| > \AC\, więc zadanie ma zawsze rozwiązanie.

6.27. Wskazówka. Poprowadźmy dowolną prostą / należącą do rozpatrywanego pęku.

Niech E, D będą odpowiednio rzutami prostokątnymi wierzchołków A. C na prostą / (p. rys. 6.27).

Niech ponadto G będzie środkiem boku AC, zaś F środkiem ED. Wtedy FG jest środkową trapezu ACED i

|FG| = ^|i4£|^^|Z)C|, skąd \AE\ i |BC| | 2|FG|.

Suma \AE\ + |D£| będzie największa wtedy, gdy GF będzie miał największą długość.

Ale odległość punktu G od prostej / nie może być większa niż |BG|. Zatem szukaną prostą jest prosta k prostopadła do środkowej BG boku AC.

173