DSCN1170

7.44.    n = 18.

7.45.    x = 2¹⁰.

7.46.    Niech beR\{0}. Wtedy

Otrzymaliśmy więc równość: (fl □ h) • 7 = 1 +- — a.

b o

Stąd

a □ h = a + b — ab, dla b ^ 0.

Gdy zaś b = 0, to rozumujemy w następujący sposób:

0 □ 1 = 1, na mocy warunku 1)

(0□ l)*a = (0□ a) — 0 = 0□ a> na mocy warunku 2).

Stąd 1 • a = 0 □ a, czyli 0 □ a = a.

Podstawiając do wzoru ^l*^] w miejsce b liczbę 0 również otrzymamy związek a Q0 = a. Znaczy to, że.wzór^(#) jest prawdziwy dla każdego a, beR oraz to, że liczba 0 jest elementem neutralnym działania □.

Udowodnienie łączności pozostawiamy Czytelnikowi.

7.47.    3|S[8|S(-3)]=-55.

a) = — 1; x₂ = 2; b) x_t -2; x₂ = 4.

7.48.    a) (xAx)Ax = xAx = x, na mocy warunku 3°,

(xAx)Ax = ^ • [x A (3x)], na mocy warunku 4°.

Stąd x A(3x) = 2x.

b) Niech xA(-x) = p. Wówczas korzystając z tego, że mnożenie

jest rozdzielne względem A otrzymamy:

(2x)Ax = 2 p.

Teraz wykorzystując wzór a) możemy zapisać: lx A (3x)j Ax = 2p. Z kolei na podstawie przemienności i warunku 4° mamy

|[(3x)]A(3x)] = 2p.

i    _{x J}    4

Stąd (3x)A(3x) = 4p, więc xAx = -p.

Ale x Ax = x. Zatem x = -p.

Stąd p = -x.

7.49. Wskazówka. Najpierw wykorzystując aksjomaty dowieść, że a +b

a * b = —-—, dla każdego a, beR.

7.50.

II.    Działanie o nie jest przemienne, jest łączne.

III.    = 1,    = 2 lub x₂ = y₂ = --•