DSC
24 (4)

s, /. Algorytm Newtona-Raphsona 63

f(x)=f(xo)+^f'^°hx-x₀)+^f"(*⁰\x-x₀f+... = 0    (5.3)

Jeżeli odrzucimy wszystkie wyrazy rozwinięcia rzędu wyższego niż 1, otrzymamy równanie przybliżone:

/(*)*/(*o)+/'(*oX*-*o)“⁰

Występującą w powyższych wyrażeniach pochodną/'(x₀) interpretuje się jako nachylenie stycznej do krzywej /(x) w punkcie x₀. Po przekształceniu otrzymamy:

Aby otrzymać lepsze przybliżenie niż Xj, stosujemy opisaną procedurę, lecz tym razem w stosunku do przybliżenia x_x itd., aż do zadowalającego rozwiązania. Rozwinięcie funkcji f (x) w szereg Taylora wokół punktu x₀ i odrzucenie wyrazów rzędu wyższego niż 1 można interpretować następująco:

- funkcję f (x) zastępujemy funkcją liniową

^wM=/(*o)+/’(*oX*-*o)    (⁵-⁶>

- funkcja w(x) przyjmuje w punkcie x₀ tę samą wartość, co funkcja / (x), a jednocześnie pochodna funkcji w(x) w punkcie x₀ ma tę samą wartość, co pochodna funkcji/(x)

- dokładne rozwiązanie Xj równania w(x) = 0 jest przybliżonym rozwiązaniem równania/(x) = 0.

Reasumując, można stwierdzić, że algorytm Newtona-Raphsona rozpoczyna obliczenia od pewnego punktu startowego i znajduje rozwiązanie poprzez serie kolejnych iteracji określonych formułą:

f(x_n)

(5.8)

x_n+i x„

Dla przykładu zastosujmy algorytm Newtona-Raphsona do równania (5.2):

*_n+i =

x„+e^Jt" -2 1 + e*"

(5.9)

Przyjmując za punkt startowy x„ = 2, otrzymamy ciąg zmierzający do rozwiązania, przedstawiony w tablicy 5.1. Zauważmy, że od 4 iteracji wartości x_n i x„₊₁ pozosta-

Tab. 5.1. Ciąg iteracji Newtona-Raphsona dla równania (5.2)

n	*n	*ir+1
0	2,000	1,119
1	1,119	0,582
2	0,582	0,449
3	0,449	0,443
4	0,443	0,443
5	0,443	0,443