DSC
47

9.1. Wprowadzenie 181

W tym miejscu musimy dokładnie nakreślić ramy dalszych rozważań, bowiem nie będą one obejmować całokształtu zagadnień stateczności konstrukcji.

Rozważania nasze ograniczymy jedynie do analizy najprostszych modeli typu eulerowskiego. Istotną cechą tych modeli jest występowanie dwu, zasadniczo różniących się od siebie, rodzajów przemieszczeń. W stanie przedkrytycznym modelu (P < Ą_r) występują w nim tylko i wyłącznie przemieszczenia pierwszego rodzaju (np. skrócenia prętów wywołane ściskaniem), podczas gdy przemieszczenia drugiego rodzaju mają w tym stanie wartości zerowe (np. wygięcia prętów pochodzące od zginania). Przemieszczenia pierwszego rodzaju rosną proporcjonalnie do wzrostu działającego obciążenia. W momencie gdy obciążenie to, wzrastając od zera, osiągnie wartość krytyczną (P = Ą_r), pojawiają się przemieszczenia drugiego rodzaju. Dzięki temu, że zjawisko eulerowskiej utraty stateczności analizujemy przy nadal obowiązującym, podstawowym, założeniu (rozdz. 3) o małych wartościach przemieszczeń, możemy dokonywać linearyzacji nieliniowych związków geometrycznych i fizycznych w małym otoczeniu stanu krytycznego. W stanie tym przemieszczenia drugiego rodzaju mają wartości zerowe i dlatego istnieje możliwość korzystania z rozwinięć w szeregi Maclaurina. Ten istotny aspekt zagadnienia omówimy na przykładzie przytoczonym poniżej (rys. 9.2).

Wzmiankowane powyżej dwa rodzaje przemieszczeń występujących w modelu eulerowskim są od siebie zupełnie niezależne. Niezależność ta może jednak mieć miejsce tylko wtedy, gdy w modelu nie występują żadne imper-fekcje. Nazwą tą określamy takie własności modelu, którymi różni się on od modelu tzw. idealnego. Wymienimy kilka typowych imperfekcji, ograniczając się jedynie do modelu pręta ściskanego: oś pręta nie jest odcinkiem idealnej linii prostej, materiał nie jest idealnie liniowo sprężysty i jednorodny, siła ściskająca nie jest przyłożona dokładnie w środku ciężkości przekroju poprzecznego, pręt nie jest pryzmatyczny.

Przykład 1

Przykładową analizę stateczności przedstawimy dla bardzo uproszczonego modelu słupa ściskanego siłą osiową, pokazanego na rys. 9.2a. Model składa się z nieskończenie sztywnego pręta AB (El = EA = oo), podpartego przegubowo na końcu A i utrzymywanego w pozycji pionowej za pomocą sprężyny o współczynniku sztywności kątowej k. Model obciążony jest pionową siłą P skierowaną ku dołowi. Całkowita energia potencjalna U układu składa się z dwu części, a mianowicie z energii sprężystej nagromadzonej w sprężynie