Image26 (26)

50

1.16. Niech w chwili początkowej punkt P pokrywa się z punktem styczności koła i prostej. Obieramy ten punkt za początek układu współrzędnych,

zaś prostą za oś x. Gdy koło obróci się o kąt ę>, to punkt styczności przesunie się do punktu A, przy czym O A = PA = rep. Jak wynika z rys. 13, współrzędne x i y punktu P wynoszą

x — O A — PB = r (ep — sin ę>), y = AS — BS = r (1 — cos ep).

Krzywa określona tymi równaniami nazywa się cykloidą. Gdy koło wykona pełny obrót, punkt P staje się znowu punktem styczności, po czym ruch się powtarza. Wystarczy więc zbadać ruch dla

0

<P

2n.

a. Według założenia prędkość obrotu koła jest stała

W

(p = co = const.

Po scałkowaniu mamy

<P

wt.

Równania ruchu punktu P przyjmują wtedy postać

y

r (cot

r (1

sin cot), cos cot).

Różniczkując je dwukrotnie względem czasu otrzymujemy składowe prędko ści i przyspieszenia

cor (1

coscot),

y = reo sin cot,

no sincot,

y

rco coscot,

a stąd

2r<o

sin

(Ot

T

a — rco.

By obliczyć przyspieszenie normalne, należy wyznaczyć promień krzywizny, definiowany wzorem

Wygodnie jest określać p za pomocą wektorów prędkości v i przyspie szenia v.

		dr	dr dt
		ds	dt ds
d^2r	d	M _	d /v
ds^2	ds	\v) -	dt \v

dt

ds

v

V

w — w

v

Wstawiając do ostatniego wzoru odpowiednie wartości na v i v oraz v i v otrzymujemy

d²f

ds²

(Dt -r    .    0)t -r

COS — l — sin — 1 2 2 ^J

4 r sin

a)t

T

a stąd

1

1

p    .cot

4 r sin —

2

Tak więc

v

a. =

= rco² sin

(Dt

~2^y

a₃ = v

= rco² cos

(Dt

T

b. Nie znamy prędkości kątowej, wobec tego równania cykloidy przybierają postać

x = r ((p -	- sinq>\
y = r (1 -	- COS (p\