Image26

50

1.16. Niech w chwili początkowej punkt P pokrywa się z punktem styczności koła i prostej. Obieramy ten punkt za początek układu współrzędnych,

zaś prostą za oś x. Gdy koło obróci się o kąt ę>, to punkt styczności przesunie się do punktu A, przy czym O A = PA = rep. Jak wynika z rys. 13, współrzędne x i y punktu P wynoszą

x = O A — PB = r (ep — sin cp), y = AS — BS — r (1 — cos cp).

Gdy koło wykona po czym ruch się

Krzywa określona tymi równaniami nazywa się cykloidą. pełny obrót, punkt P staje się znowu punktem styczności, powtarza. Wystarczy więc zbadać ruch dla

0

<P

2 n.

a. Według założenia prędkość obrotu koła jest stała

w

(p = co = const.

Po scałkowaniu mamy

<P

cot.

Równania ruchu punktu P przyjmują wtedy postać

r (cot

sin (ot),

y

r (1 — coscot).

Różniczkując je dwukrotnie względem czasu otrzymujemy składowe prędko ści i przyspieszenia

x = wr (1

cos (Dt),

y = rco sin cot,

ren sineot,

y

rco^z coscot,

a stąd

sin

cot

T

By obliczyć przyspieszenie normalne, należy wyznaczyć promień krzywizny, definiowany wzorem

II

Wygodnie jest określać p za po szenia v’

ocą wektorów prędkości v i przyspie-

dr    dr dt    v

ds    dt ds    v ’

d /v\ dt w — w dt \v / ds    y³

Wstawiając do ostatniego wzoru odpowiednie wartości na v i v oraz v i v otrzymujemy

d²f

ds²

4 r sin

tot

T

a stąd

1

cot

4 r sin —-

2

Tak więc

a.

v

rco sm

CJOt

T’

a, = v

rco cos

cot

T

b. Nie znamy prędkości kątowej, wobec tego równania cykloidy przybierają

postać

x = r (cp — sin<p), y = r (1 — cos <p),