DSC07384

186

Krzywe stożkowe

d) Osie elipsy pokrywają się z osiami układu współrzędnych, a proste x + y = 5, x - 4y = 10 są styczne do niej. Podać równanie elipsy.

• Zadanie 6.5

a)    Hiperbola ma ogniska Fj = (—5,0), F₂ = (5,0) oraz przechodzi przez punkt P = (3\^j,4) . Podać równanie hiperboli;

b)    Proste y = -V3x, y = \/3x są asyinptotami hiperboli. Znaleźć współrzędne ognisk oraz mimośród hiperboli, jeżeli wiadomo, że punkt W = (1,0) jest jednym z jej wierzchołków;

c)    Wyznaczyć osie oraz współrzędne środka hiperboli

2x? +4x —5p²+ 10ł/ — 13 = 0;

d)    Dwa wierzchołki kwadratu należą do jednej, a pozostałe dwa do drugiej gałęzi

hiperboli — —    = 1. Znaleźć bok kwadratu.

16    25

| Zadanie 6.6    ₀

a)    Napisać równanie stycznej hiperboli —---— = 1 w punkcie P = ^\/6, >/6| ;

b)    Z punktu P = (1,0) poprowadzozno styczne hiperboli x² — 4rf —4 = 0. Znaleźć ich równania;

c)    Wyznaczyć równania stycznych hiperboli 2x- — 5j/² = 30 równoległych do prostej y = -x+3\

_n    ** r

d)    Znaleźć pólosię hiperboli — -g? = 1, która w punkcie P = (4,2) jest styczna do prostą y = x — 2.

• Zadanie 6.7

a)    Znaleźć równanie paraboli, której kierownicą jest prosta y = —2, a ogniskiem punkt F = (1,8);

b)    Znaleźć równanie paraboli o osi pionowej lub poziomej, która przechodzi przez punkty A = (-2,0), B = (1,3), C = (6, -2);

c)    Znaleźć równanie cięciwy paraboli y¹ = 2x, której środkiem jest S = (3,1);

d)    Punkty A = (0,0), B = (2,4) są wierzchołkmi podstawy trójkąta równo-mnienego ABC wpisanego w parabolę y = x². Wyznaczyć współrzędne wierzchołka C trójkąta. De rozwiązań ma zadanie?

e)    Czasza radioteleskopu do odbioru sygnałów z kosmosu ma kształt paraboloidy' obrotową o wymiarach D = 48 m oraz H = 12 m (rysunek). Na jakiej wysokości h nad dnem czaszy należy umieścić urządzenie odbiorcze, aby odbierane sygnały miały największą moc?

‘Parabołodia obrotowa jest powierzchnią powstałą z obrotu paraboli wokół swojej osi.

Zadania

urządzenie odbiorcza

f) T\inel ma kształt odcinka paraboli o szerokości 4 m i wysokości 5m (rysunek). Czy w tunelu zmieści się:

i)    TIR o szerokości 2.8m i wysokości 3.0m?

ii)    cysterna o wysokości 3.5 m i średnicy zbiornika 3.0m?

* Zadanie 6.8

a)    Napisać równanie stycznej paraboli y¹ — —8x w punkcie P = (—2, —4);

b)    Z punktu P = (—1,-1) poprowadzono styczne paraboli y = 2x². Znaleźć równania tych stycznych;

c)    Znaleźć styczną paraboli y¹ =4x, która jest prostopadła do prostej i+2j/ = 6;

d)    Dla jakiej wartości parametru p, parabole y = X³ + p, y³ = x są styczne?