DSC07383

V

V

184

Krzywe stożkowe

Prosta będzie styczna do paraboli, gdy będzie miała z nią tylko jeden punkt wspólny.

Warunek ten jest równoważny istnieniu tylko jednego rozwiązańin układu równań

Układ przekształacamy do równoważnej postaci

Aby układ ten miał jedno rozwiązanie wyróżnik równania kwadratowego musi być równy 0. Mamy zatem

Stąd. po prostych przekształceniach. otrzymamy równanie kwadratowe p*m^a + 2pyom — p³ = 0.

z niewiadomą m i parametrem p. Równanie to ma pierwiastki, gdyż jego wyróżnik

Am = 4p’ (po +pl)

jesi dodatni. Ze wzorów Vict»'a wynika, że iloczyn pierwiastków jest równy

o?

mima =--r = —1.

r

To oznacza, ze styczne są prostopadle.

Zadania

Zadanie 6.1

a) Znane są współrzędne wierzchołków/t = (—1,4), C = (3,6) prostokąta ABCD. Znaleźć równanie okręgu opisanego na tym prostokącie;

b)    Znaleźć współrzędne środka i promień okręgu i² — x + y² + y = 0;

c)    Początek układu współrzędnych jest środkiem cięciwy okręgu

(x — 2)² -ł- (y — 4)³ = 25.

Wyznaczyć równanie prostej zawierającej tę cięciwę;

d)    Znaleźć równanie okręgu, który jest styczny do osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt P = (—2,9). Ile rozwiązań ma zadanie?

e)    Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów płaszczyzny, które są środkami cięciw okręgu x² + (y — 2)² = 4 wychodzących z początku układu współrzędnych.

•    Zadanie 6.2

a)    Napisać równanie stycznej okręgu (x+3)² + (y—4)² = 25 w punkcie P = (0,0);

b)    Znaleźć długość stycznej do okręgu (x — 9)² -I- (y - 7)² = 25 poprowadzonej z punktu P = (2, -3);

c)    Na okręgu x² + 4x + y² — 3 = 0 znaleźć punkt, który jest położony najbliżej (najdalej) od prostej x + y = 0;

d)    Znaleźć równanie okręgu o środku S = (6,7), który jest styczny do prostej 5x — 12y — 24 = 0;

e)    Wyznaczyć równanie okręgu wpisanego w trójkąt ograniczony odcinkami prostych x + 5 = 0, 4x - 3y - 25 = 0, 3x + 4y - 25 = 0.

*    Zadanie 6.3

a)    Znaleźć równanie elipsy o ogniskach F\ = (1,1), F? = (9,1), która przechodzi przez punkt P = (5, —2);

X² w²

b)    Punkty A = (6,4), B = (—8,3) należą do elipsy    = 1. Wyznaczyć osie,

współrzędne ognisk oraz mimośród tej elipsy.

c)    Znaleźć osie oraz ogniskową elipsy 3x² + 12x -I- 5y² — lOy + 2 = 0;

x² y²

d)    Jeden z boków trójkąta równobocznego wpisanego w elipsę + pr = 1 jest równoległy do osi Oy. Wyznaczyć współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

e)    Punkt S = (—1,1) jest środkiem cięciwy elipsy 4x² + 9y² — 36 = 0. Znaleźć równanie prostej zawierającej tę cięciwę.

Zadanie 6.4    / —

a)    Napisać równanie stycznej elipsy 3x² + 4y² = 12 w punkcie P = |-1, g J ;

b)    Znaleźć równania stycznych elipsy — + -g- = 1 poprowadzonych z punktu

P = (-3,0);

*³ y¹    -    ■

c)    Znaleźć równania stycznych elipsy — + — = 1, które są prostopadle do prostej

x + y —10 = 0;    •    ^5    3 ,