SZEREG POT
GOWY 3.
1. Określić promień zbieżności oraz przedział zbieżności szeregów potęgowych.
1 3n n!
(a) xn (b) xn (c) n!xn (d) xn
2n n 1 (2n)!
n 1 n 1 n 1 n 1
n
n! n x 1
(e) xn (f) ( 2)n x2n (g) (h) (x 1)n
n 2 2
n 1 n 1 n 1 n 1 n2
2n n
(x 3)n
1 x3n
(i) (3x 1)n (j) n(x 2)n (k) (l)
n 1 2n n 1 n 1 (2n 1) n 1 n 1 8n (4n 3)
23n 1 n3
(m) xn
n 1 n2 5
5n
2. Korzystając z własności szeregu geometrycznego lub ze znanych rozwinięć w szereg
potęgowy pewnych funkcji, znalez
ć rozwinięcia w szereg Maclaurina dla funkcji:
2
x
(a) (b) e (c) coshx (d) cos2 x
ex
5x 2
(e) arctg3x (f) (g) ln(1 x) (h) sin xcosx
3
x 3
3. Określić rozwinięcie w szereg Taylora dla funkcji:
1 1
(a) f (x) , x0 4 (b) f (x) , x0 2 (c) f (x) ex , x0 3
x
1 x
Odpowiedzi.
1 1 1
1. (a) , x 1,1) (b) R , x , ) (c) R 0, x 0 (d) (e) , x ( , )
R 1 R
3
3 3
1 1 1 2 1
(f) R , x ( , ) (g) , x ( 2,2) (h) , x 0,2 (i) R , x ( 1, )
R 2 R 1
2 3
2 2 3
5
5 5
(j) , x (1,3) (k) , x 4, 2 (l) , x 2,2) (m) R , x ( , )
R 1 R 1 R 2
8 8 8
1
2. (a) x2n , (b) ( 1)n 1 xn ,
R R
n! n!
n 0 n 0
1
1
1
(c) x2n , (d) ( 1)n 22n x2n ,
R R
2
(2n)! (2n)!
n 0 n 0
1
1
1
(e) ( 1)n 32n x2n 1, R (f) ( 5) xn 1, R 3
3
2n 1
n 0 n 0
3n 1
1 3
(g) (2)n 1xn 1 , R (h) ( 1)n 22n x2n 1 , R
3
n 1 2
(2n 1)!
n 0 n 0
1 1
3. (a) ( 1)n 1 11 (x 4)n , R 3 (b) ( 1) (x 2)n, R 2 (c) e3 (x 3)n , R
n!
n 0 n 0 n 0
3n 2n 1
3