Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 2
2. Ruch jednowymiarowy
Zajmiemy się opisem ruchu rozumianym jako zmiany położenia jednych ciał
względem innych, które nazywamy układem odniesienia. Zwróć uwagę, że to samo ciało
może poruszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem inne-
go. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym.
2.1 Prędkość
Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.
2.1.1 Prędkość stała
Jeżeli ciało, które w pewnej chwili t0 znajdowało się w położeniu x0, porusza się
ze stałą prędkością v to po czasie t znajdzie się w położeniu x danym związkiem
x-x0 = v(t - t0)
czyli
x - x0
v = (2.1)
t - t0
8
6
4
2
0
2 4 6 8 10
-2
t
Interpretacja graficzna: prędkość to nachylenie prostej x(t) (różne nachylenia wykresów
x(t) odpowiadają różnym prędkościom).
Wielkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ru-
chu !!! Wektor v ujemny to ruch w kierunku malejÄ…cych x.
2.1.2 Prędkość chwilowa
Jeżeli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybkościomierza nie zgadzają
się z wyrażeniem (2.1) chyba, że wez
miemy bardzo małe wartości x - x0 ("x) czyli rów-
nież bardzo małe t - t0 ("t). Stąd prędkość chwilowa:
2-1
x
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
"x
v = lim
"t0
"t
Tak definiuje się pierwszą pochodną, więc
d x
v = (2.2)
dt
Prezentacja graficzna
80
60
40
20
0
0246
Prędkość chwilowa przejście od siecznej do stycznej. Nachylenie stycznej to pręd-
kość chwilowa (w chwili t odpowiadającej punktowi styczności).
2.1.3 Prędkość średnia
Średnia matematyczna. Znaczenie średniej - przykłady. Przykłady rozkładów nie-
jednostajnych - czynniki wagowe.
Przykład 1
Samochód przejeżdża odcinek 20 km z prędkością 40 km/h a potem, przez następne
20 km, jedzie z prędkością 80 km/h. Oblicz prędkość średnią.
t1 = x1/v1 = 20/40 = 0.5 h
t2 = x2/v2 = 20/80 = 0.25 h
t1 t2
v = v1 + v2 = 53.33 km/h
t1 + t2 t1 + t2
a nie 60 km/h; (wagi statystyczne). Ponieważ viti = xi więc
x - x0
v = (2.3)
t
przesunięcie wypadkowe/czas całkowity.
2-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Przykład 2
Korzystamy z wartości średniej do obliczenia drogi hamowania samochodu, który
jedzie z prędkością 25 m/s (90 km/h). Czas hamowania 5 sekund. Prędkość maleje jed-
nostajnie (stała siła hamowania). Prędkość średnia 12.5 m/s (45 km/h).
Z równania (2.3) x - x0 = 12.5·5 = 62.5 m.
To najkrótsza droga hamowania. Wartość średnia daje praktyczne wyniki. Ten przykład
wprowadza nas do omówienia przyspieszenia.
2.2 Przyspieszenie
Przyspieszenie to tempo zmian prędkości.
2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe
Prędkość zmienia się jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie
v - v
0
a = (2.4)
t
jest stałe.
Gdy przyspieszenie zmienia się z czasem musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru
zmian prędkości "v w bardzo krótkim czasie "t (analogicznie do prędkości chwilowej).
Odpowiada to pierwszej pochodnej v względem t.
dv
a = (2.5)
dt
2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny
Często chcemy znać zarówno położenie ciała jak i jego prędkość. Ze wzoru (2.4)
mamy v = v0 + at. Natomiast do policzenia położenia skorzystamy ze wzoru (2.3).
x = x0 +vt
Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v0 do v
więc prędkość średnia wynosi
v = (v + v)/2
0
A
Ä…czÄ…c otrzymujemy
x = x0 + (1/2) (v0 + v)t
gdzie za v możemy podstawić v0 + at. Wtedy
x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] t
więc ostatecznie
2
at
x = x0 +v0t + (2.6)
2
2-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dyskutując ruch po linii prostej możemy operować liczbami, a nie wektorami bo mamy
do czynienia z wektorami równoległymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (roz-
wiązywaniu zadań) uświadamiać, że mamy do czynienia z wektorami.
Przykład 3
Dwa identyczne ciała rzucono pionowo do góry z prędkością początkową v0 w od-
stępie czasu "t jedno po drugim. na jakiej wysokości spotkają się te ciała?
Dane: v0, "t, g - przyspieszenie ziemskie.
Możemy rozwiązać to zadanie obliczając odcinki dróg
H
przebytych przez te ciała:
2
gtg
1) H = v0 - , v = v0 - gtg, v = 0
h
2
2
gtd
2) H - h =
2
v0 2
gt
3) h = v0t - , tg + td = t + "t
2
Trzeba teraz rozwiązać układ tych równań.
Można inaczej: h - to położenie czyli wektor (nie odcinek). Podobnie v0t i (1/2)gt2.
W dowolnej chwili h jest sumą dwóch pozostałych wektorów. Opis więc jest ten sam
w czasie całego ruchu (zarówno w górę jak i w dół).
Sprawdz
my np. dla v0 = 50 m/s, g = 10 m/s2; więc równanie ma postać: h = 50t-5t2.
Wykonujemy obliczenia przebytej drogi i wysokości w funkcji czasu i zapisujemy w
tabeli poniżej
czas [s] położenie (wysokość) droga [m]
0 0 0
1 45 45
2 80 80
3 105 105
4 120 120
5 125 125
6 1 w dół 120 130 5 (w dół)
7 2 105 145 20
8 3 80 170 45
9 4 45 205 80
10 5 0 250 125
Opis matematyczny musi odzwierciedlać sytuację fizyczną. Na tej samej wysokości h
ciało w trakcie ruchu przebywa 2 razy (w dwóch różnych chwilach; pierwszy raz przy
wznoszeniu, drugi przy opadaniu). Równanie musi być więc kwadratowe
(2 rozwiązania). Rozwiązaniem równania (1/2)gt2 - v0t + h = 0 są właśnie te dwa czasy
t1 i t2.
2
v0 ("t)2 g
Z warunku zadania wynika, że t1 - t2 = "t. Rozwiązanie: h = -
2g 8
Pamiętanie o tym, że liczymy na wektorach jest bardzo istotne. Szczególnie to widać
przy rozpatrywaniu ruchu na płaszczyz
nie.
2-4