POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ
Definicja pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie
jednowymiarowej)
Niech
(�Y, . )� Rn
- przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa nad ciałem K)
(element w przestrzeni Banacha)
f : K �� Y , a ��Y
x0 �� Df ��' Df (pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym
punktem skupienia dziedziny)
Funkcja f ma pochodną (różniczkę) w punkcie x równą a, a ��Y , jeśli:
0
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�-� ah =� o(�h)� dla x0 +� h �� Df
o(h)
po podzieleniu przez h wyrażenie
musi dążyć do zera, gdy
h �� 0
lub równoważnie
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�-� ah =� o(�h )�
Oznaczenie: a =� f '(�x0)�=� dx f
0
pochodna różniczka
Twierdzenie
Przy powyższych założeniach zachodzi
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)� f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�
$�f '(�x0)� �� $�lim Ł� lim =� f '(�x0)�
h��0 h��0
h h
Dowód
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�-� ah
$�f '(�x0)� �� f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�-� ah =� o(�h)� �� �� 0 ��
h��0
h
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)� f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�
�� -� a �� 0 �� lim =� a
h��0 h��0
h h
ń
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x , to jest w tym punkcie ciągła, tzn.
0
f �� D(x0) �� f ��C(x0)
.
1
Interpretacja pochodnej
a =� f '(x0)
Element , występujący w definicji pochodnej, można traktować dwojako:
f '(�x0)���Y
1. (traktujemy jako element przetrzeni Banacha)
f '(�x0)�
2. traktujemy jako odwzorowanie liniowe i ciągłe
f '(�x0)�: K h �� a �� h �� Y
"
f '(�x0)�(�h)�=� f '(�x0)�h
Zatem jest wartością odwzorowania liniowego na wektorze h.
dx f
Pochodną traktowaną jako odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką .
0
Różniczka (lub pochodna) odwzorowania f w punkcie x jest to odwzorowanie liniowe i
0
dx f =� f '(x0) f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�
o(�h)�
ciągłe przybliżające różnicę funkcji z dokładnością do .
0
y=f(x)
y
y0
y  y0= f ' (x0)(x-x0)
równanie stycznej do funkcji f w punkcie (x0,y0)
x0
x
Pochodną policzoną w punkcie utożsamiamy z prostą styczną do tego punktu.
opracował Mateusz Targosz
2