dysleksja
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
MMA-R1_1P-072
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut MAJ
ROK 2007
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdz
, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron
(zadania 1  11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
Za rozwiązanie
10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
wszystkich zadań
Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
można otrzymać
zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.
łącznie
50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
KOD
PESEL ZDAJ
CEGO ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (5 pkt)
Dana jest funkcja f x = x -1 - x + 2 dla x " R .
( )
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x " -2 .
(-",
)
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f x = m nie ma
( )
rozwiązania.
a) Niech x"
(-",-2 , wtedy:
)
x -1< 0, czyli x -1 = -( -1 oraz
x
)
x + 2 < 0, czyli x + 2 = -( )
x + 2 .
Zatem dla x"
(-",-2 otrzymuję:
)
f x =-( -1 - -( )
x x + 2 =-x +1+ x + 2 = 3.
( ) ) ( )
Funkcja f dla x"
(-",-2 jest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest
)
zbiór 3 .
{ }
b) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję f zapisuję
w następującej postaci:
ż#
3 dla x"
(-",-2
)
�#
�#
f x = -2x -1 dla x" -2,1
( ) )
�#
�#
-3 dla x" 1,"
)
�#
�#
Egzamin maturalny z matematyki 3
Poziom rozszerzony
Szkicuję wykres funkcji f.
y
3
-2
1
x
-1
-3
Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale
(-2,1 (co widać na
)
sporządzonym wykresie).
Miejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale:
1
- 2x -1= 0 , stąd x0 =- .
2
c) Równanie f x = m nie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu y = m
( )
nie przecina wykresu funkcji f, czyli dla m < -3 lub m > 3 .
4 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 2. (5 pkt)
Rozwiąż nierówność: log1 x2 -1 + log1 5 - x > log1 3 x +1 .
( ) ( )
( ) ( )
33 3
Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej:
x2 -1 > 0 '" 5 - x > 0 '" x +1 > 0.
Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej:
x
 1 0 1
5
Dziedziną danej nierówności jest przedział 1,5 .
( )
Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną:
log1 Ą# x2 -1 5 - x > log1 3 x +1 .
( )ń# )
( ) ( ( )
Ł#Ś#
33
1
Funkcja logarytmiczna przy podstawie jest malejąca, więc po opuszczeniu
3
logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną:
x2 -1 5 - x < 3 x +1 .
( ) ( )
( )
Przedstawiam ją w postaci iloczynowej:
x
( -1 x +1 5 - x < 3 x +1
)( )( ) ( )
x
( -1 x +1 5 - x - 3 x +1 < 0
)( )( ) ( )
x +1 Ą# x
( )Ł#( -1 5 - x - 3ń# < 0
)( )
Ś#
x +1
( ) -x2 + 6x - 8 < 0
( )
-( )( - 2 x - 4 < 0
x +1 x
)( )
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów 2 *" 4, " .
(-1,
) ( )
Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego
zbioru i dziedziny: 1, 2 *" 4, 5 .
( ) ( )
Egzamin maturalny z matematyki 5
Poziom rozszerzony
Zadanie 3. (5 pkt)
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień
2
półkuli. Objętość stożka stanowi objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
3
lądownika.
Sporządzam pomocniczy rysunek:
h
r
Zapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością:
h = r +1.
Objętość V kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli:
12 12 1
V = Ą r2 �" h + Ą r3 = Ą r2 �" r +1 + Ą r3 stąd V = Ą r3 + Ą r2 .
( )
33 33 3
Zależność między objętością VS stożka i objętością V kapsuły wynikającą
z treści zadania ma postać:
2
VS = V , stąd
3
12 1
Ą r2 �" r +1 = r3 + Ą r2 ś#
( )�#
ś#Ą 3 ź#
33
�# #
12 1
Ą r2 r +1 = Ą r2 �# r +ś#
( )
ś# ź#
33 3
�# #
1
ś#
r +1 = 2�# r +
ś# ź#
3
�# #
1
r = .
3
2Ą
Obliczam objętości V kapsuły lądownika: V = m3 .
27
6 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 4. (3 pkt)
3
Dany jest trójkąt o bokach długości 1, , 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw
2
najkrótszego boku tego trójkąta.
Wykonuję rysunek pomocniczy, na którym zaznaczam poszukiwany kąt:
3
1
2
ą
2
Wykorzystuję twierdzenie cosinusów do zapisania równania:
2
2 33
�# ś#
1 = + 22 - 2 �" �" 2 �" cosą i obliczam wartość cosinusa kąta ą :
( )
ś# ź#
22
�# #
7
cosą = .
8
Wartość funkcji sinus kąta ą wyznaczam z tożsamości trygonometrycznej
sin2ą + cos2ą =1.
2
7 15
�# ś#
sin2ą + =1, sin2ą = .
ś# ź#
8 64
�# #
15
Kąt ą jest kątem ostrym, więc siną = .
8
Egzamin maturalny z matematyki 7
Poziom rozszerzony
Zadanie 5. (7 pkt)
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = -x2 + 6x . Punkt C jest
jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządz
rysunek w układzie
współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Aby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli:
2
y =-x2 + 6x =-( - 3 + 9 , więc wierzchołek paraboli ma współrzędne 3,9 .
x
) ( )
Wykonuję rysunek ilustrujący treść zadania:
y
C
9
600
A
B
x
600
0 6
3
Trójkąt ABC jest równoboczny, więc kąt BAC ma miarę 60 . Współczynnik
kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i C jest więc równy
tg60 = 3 .
Wyznaczam równanie prostej AC:
prosta y = 3x + b przechodzi przez punkt C = 3,9 , więc współczynnik b jest
( )
równy b =-3 3 + 9 .
Prosta AC ma równanie: y = 3x - 3 3 + 9.
8 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Aby wyznaczyć współrzędne punktu A rozwiązuję układ równań:
ż#y = 3x - 3 3 + 9
�#
�#
�#
�#y =-x2 + 6x
Po dokonaniu podstawienia y =-x2 + 6x otrzymuję równanie
3x - 3 3 + 9 = -x2 + 6x , które po uporządkowaniu przyjmuje postać:
x2 + x 3 - 6 + 9 - 3 3 = 0.
( )
Rozwiązaniem równania są liczby: x1 = 3, x2 = 3 - 3 .
Współrzędne punktów przecięcia prostej AC z parabolą y = -x2 + 6x są więc
następujące: 3 - 3,6 oraz 3,9 .
( )
( )
Punkt 3,9 jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt A ma współrzędne
( )
3 - 3,6 .
( )
Współrzędne punktu B wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli
y =-x2 + 6x jest prosta x = 3 . Punkt B jest więc obrazem punktu A w symetrii
względem tej prostej, czyli B = 3 + 3,6 .
( )
Egzamin maturalny z matematyki 9
Poziom rozszerzony
Zadanie 6. (4 pkt)
Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P A i P B . Wykaż, że jeżeli
( ) ( )
P A = 0,85 i P B = 0,75, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność
( ) ( )
P A B e" 0,8.
( )
Ponieważ P A *" B d"1 z własności prawdopodobieństwa, więc
( )
1e" P A *" B = P A + P B - P A )" B .
( ) ( ) ( ) ( )
Stąd po przekształceniu otrzymuję:
P A )" B e" P A + P B -1
( ) ( ) ( )
P A )" B e" 0,85 + 0,75 -1
( )
P A )" B e" 0,6
( )
Korzystam z definicji prawdopodobieństwa warunkowego:
P A )" B
) 0,6
P A B =e" i otrzymuję P A B e" 0,8 .
( )(P B 0,75 ( )
( )
10 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 7. (7 pkt)
mx
ż# - y = 2
Dany jest układ równań:
�#x + my = m .
�#
Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb x, y , która jest rozwiązaniem tego
( )
układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x + y dla m " 2, 4 .
mx
ż# - y = 2
Rozwiązaniem układu równań dla każdego m" R jest para liczb
�#
�#x + my = m
3m
ż#x =
�#
�# m2 +1
�#
-
�#y = m2 2 .
�#
�# m2 +1
m2 + 3m - 2
Sumę x + y zapisuję w postaci funkcji f m = , m" R .
( )
m2 +1
Aby znalez
ć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną
-3m2 + 6m + 3
2
funkcji f: f m = , m" R .
( )
2
m2 +1
( )
Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f:
2
f m = 0 gdy -3m2 + 6m + 3 = 0 .
( )
Rozwiązaniami równania są liczby: m1 =1- 2 , m2 =1+ 2 , przy czym
m1 " 2,4 .
Badam znak pochodnej w przedziale 2,4 :
2
Ponieważ f m > 0dla m" 2, 1+ 2 , więc funkcja f jest rosnąca w przedziale
( )
( )
2
2, 1+ 2 . Ponieważ f m < 0dla m" 1+ 2, 4 , więc funkcja f jest
( )
) ( )
malejąca w przedziale 1+ 2, 4 .
(
Stąd wnioskuję, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców
przedziału 2,4 .
Egzamin maturalny z matematyki 11
Poziom rozszerzony
8 26
Obliczam wartość funkcji f na końcach przedziału: f 2 = oraz f 4 =
( ) ( )
5 17
i porównuję otrzymane liczby.
26
Najmniejszą wartością sumy x + y jest f 4 = .
( )
17
12 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 8. (3 pkt)
sin2 x - sin x
Dana jest funkcja f określona wzorem f x = dla x " 0, Ą *" Ą , 2Ą .
( ) ( ) ( )
sin x
a) Naszkicuj wykres funkcji f .
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Korzystam z definicji wartości bezwzględnej i zapisuję wzór funkcji f
ż#
sin2 x - sin x
dla sin x > 0
�#
�#
sin x
w postaci: f x =
( )
�#
2
�#sin x + sin x dla sin x < 0
�#
�# sin x
sin x
ż# -1 dla sin x > 0
f x =
( )
�#
�#sin x +1 dla sin x < 0 .
Szkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest następujący:
y
1
x
Ą 2Ą
-1
Na podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji:
f x = 0 dla x takich, że sin x -1 = 0 lub sin x +1 = 0 ,
( )
Ą 3Ą
czyli dla x = , oraz x = .
2 2
Egzamin maturalny z matematyki 13
Poziom rozszerzony
Zadanie 9. (3 pkt)
Przedstaw wielomian W x = x4 - 2x3 - 3x2 + 4x -1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów
( )
stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich
potęgach są równe jeden.
Dany wielomian W x = x4 - 2x3 - 3x2 + 4x -1 przedstawiam w takiej postaci,
( )
aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia:
W x = x4 - 2x3 + x2 - 4x2 + 4x -1.
( )
Grupuję wyrazy i przedstawiam wyrażenie w postaci różnicy kwadratów dwóch
2
2
wyrażeń: W x = x2 - x - ( -1 .
2x
( ) )
( )
Wykorzystuję wzory skróconego mnożenia do rozkładu wielomianu na iloczyn
dwóch wielomianów stopnia drugiego:
2
2
W x = x2 - x -( -1 = x2 - x + 2x -1 �" x2 - x - 2x +1 =
2x
( ) )
( ) ( ) ( )
= x2 + x -1 �" x2 - 3x +1 .
( ) ( )
14 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Zadanie 10. (4 pkt)
Ą 3
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi .
8
Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
Sporządzam rysunek pomocniczy i wprowadzam następujące oznaczenia:
a  długość boku rombu, r  promień koła wpisanego w romb, PK  pole koła
wpisanego w romb, PR  pole rombu, ą  kąt ostry rombu.
D
C
r
a
ą
B
A
E
Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami PK = Ą r2 , PR = a �" 2r .
PK Ą r2 Ą 3 r 3
Z warunków zadania wynika proporcja: == , stąd = .
PR a �" 2r 8 2a 8
3
Z otrzymanej równości wyznaczam promień okręgu: r = a �" .
4
DE
2r
Z trójkąta prostokątnego AED wyznaczam sinus kąta ą : siną = =
AD a
3
2 �" a
3
4
siną == .
a 2
Zatem ą = 60 .
Egzamin maturalny z matematyki 15
Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (4 pkt)
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego an wyraża się wzorem
( )
Sn = 2n2 + n dla n e" 1.
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
a2 + a4 + a6 + ...+ a100 .
Sn
b) Oblicz lim .
n"
3n2 - 2
a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu an , korzystając z własności sum
( )
częściowych ciągów: an = Sn - Sn-1
2
an = 2n2 + n - 2 n -1 - n +1= 4n -1.
( )
Wyznaczam wartość wyrazu a2 = 7 i różnicy ciągu ( a2, a4, ..., a100 ), r = 8 .
Obliczam sumę n = 50 początkowych wyrazów ciągu o numerach
2 �" 7 + 50 -1 �"8
( )
parzystych: S50 =�"50 =10150 .
2
Sn
b) Obliczam granicę ciągu :
3n2 - 2
Sn 2n2 + n 2
lim = lim = .
n"
3n2 - 2 3n2
n" - 2 3
16 Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
BRUDNOPIS