1
Krzywa zadana równaniem we współrzędnych biegunowych
L : r = r(Õ), Õ1 Õ Õ2
Przykład Sprowadzić całkę krzywoliniową

f(x, y) dl
L
do całki oznaczonej, jeżeli łuk gładki L jest dany we współrzędnych biegunowych.
RozwiÄ…zanie A
uk L we współrzędnych biegunowych opisze się:
L ; x = r(Õ) cos Õ, y = r(Õ) sin Õ, Õ1 Õ Õ2.
StÄ…d
x = r (Õ) cos Õ - r(Õ) sin Õ
y = r (Õ) sin Õ + r(Õ) cos Õ
i
x 2 = r 2(Õ) cos2 Õ - 2 r(Õ)r (Õ) sin Õ cos Õ + r2(Õ) sin2 Õ
y 2 = r 2(Õ) sin2 Õ + 2 r(Õ)r (Õ) sin Õ cos Õ + r2(Õ) cos2 Õ.
Zatem
x 2 + y 2 = r 2(Õ) + r2(Õ).
Policzmy więc całkę krzywoliniową:
Õ2


f(x, y) dl = f ( x(Õ) , y(Õ) ) x 2(Õ) + y 2(Õ) dÕ =
Õ1
L
2
Õ2


= f ( r(Õ) cos Õ , r(Õ) sin Õ ) r2(Õ) + r 2(Õ) dÕ
Õ1
PrzykÅ‚ad Oblicz masÄ™ kardioidy danej równaniem r = a( 1 + cos Õ ) dla 0 Õ 2Ä„, jeżeli

"
gęstość masy tej krzywej wynosi (x, y) = 2 x2 + y2 .
Rozwiązanie Ponieważ
L ; x = r(Õ) cos Õ, y = r(Õ) sin Õ, 0 Õ 2Ä„,
to gęstośc masy


(x, y) = 2 x2 + y2 = 2r(Õ) = 2a( 1 + cos Õ )
i

r2 = a2 ( 1 + cos Õ )2 = a2 1 + 2 cos Õ + cos2 Õ
r 2 = a2 sin2 Õ,
a tym samym
r2 + r 2 = a2 ( 2 + 2 cos Õ ).
Zatem masa
2Ä„ 2Ä„


" "
M = (x, y) dl = 2a( 1 + cos Õ )· a2 ( 2 + 2 cos Õ ) dÕ = 2a a ( 1+cos Õ ) dÕ = 4Ä„a a.
L 0 0