1
Pole płata powierzchniowego

| Ł | = f(x, y) dl
L
L �" R2 f(x, y) 0
Przykład Oblicz pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = a2 , leżącej nad płaszczyzną OXY
i ściętej płaszczyzną -x + z = a .
Rozwiązanie
-x + z = a =�! f(x, y) = z = a + x
Kierownicą powierzchni walca jest okrąg, leżący w płaszcyz
nie OXY o równaniu x2 + y2 = a2 ,
stąd
L : x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2Ą.
Policzmy zadane pole powierzchni bocznej:
2Ą


| Ł | = f(x, y) dl = f(x(t), y(t)) x 2(t) + y 2(t) dt =
L 0
2Ą 2Ą

= ( a + a cos t ) � a dt = a2 ( 1 + cos t ) dt = 2Ąa2.
0 0
Ćwiczenie Oblicz pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 , ograniczonej powierzchniami
z = 0, z = 2 + xy .